LE PENDULE SIMPLE
9.3 Résolution numérique
Cette équation est entièrement déterminée par la connaissance de ω 0 . Les paramètres g, m
et L n’interviennent pas indépendamment mais uniquement sous la forme de la combinaison
ω 0 =
g/L et la masse m n’intervient pas dans le problème. Le seul paramètre libre est
l’angle initial θ 0 dont on va étudier l’influence en traçant les solutions θ (t) en fonction du
temps pour θ 0 variant entre 0, 1 et 1, 5 radians (oscillations de grande amplitude) ou entre
0, 01 et 0, 15 radians (oscillations de faible amplitude). Les résultats sont représentés sur la
figure 15.18.
π
2π
3π ω 0 t
θ
0
1.5
1.0
0.5
−1.5
−1.0
−0.5
π
2π
3π ω 0 t
θ
0
0.15
0.10
0.05
−0.15
−0.10
−0.05
Figure 15.18 – Évolution temporelle de l’angle θ pour différentes conditions initiales.
À gauche, l’amplitude des oscillations est comprise entre 0,1 et 1,5 rad ; à droite, elle
est comprise entre 0,01 et 0,15 rad.
Dans tous les cas, on observe des oscillations périodiques. Pour les oscillations de grande
amplitude, la période de ces oscillations dépend de θ 0 donc des conditions initiales. Lorsque
l’amplitude des oscillations reste petite (inférieure à 0,4 rad environ), les oscillations ont une
période commune. On parle d’isochronisme des petites oscillations. On va chercher à établir
ce résultat en linéarisant l’équation différentielle (15.6) pour les petits angles.
9.4 Cas des oscillations de faibles amplitudes
a) Linéarisation et résolution analytique
Dans le cas où θ reste petit devant 1, on peut assimiler sin θ à θ et linéariser l’équation (15.6).
On obtient alors l’équation différentielle linéaire :
¨
θ + ω
2
0 θ = 0.
(15.7)
La variable angulaire θ vérifie alors l’équation différentielle d’un oscillateur harmonique que
l’on a étudié au premier chapitre de cet ouvrage. Les solutions pour θ (t) sont de la forme
θ = A cos(ω 0 t) + B sin(ω 0 t),
où A et B sont des constantes. Les conditions initiales θ (t = 0) = θ 0 et ˙
θ (t = 0) = 0 s’écrivent :
θ 0 = A et 0 = Bω 0 ,
soit A = θ 0 et B = 0. Finalement :
θ = θ 0 cos(ω 0 t).
553
9.3 Résolution numérique
Cette équation est entièrement déterminée par la connaissance de ω 0 . Les paramètres g, m
et L n’interviennent pas indépendamment mais uniquement sous la forme de la combinaison
ω 0 =
g/L et la masse m n’intervient pas dans le problème. Le seul paramètre libre est
l’angle initial θ 0 dont on va étudier l’influence en traçant les solutions θ (t) en fonction du
temps pour θ 0 variant entre 0, 1 et 1, 5 radians (oscillations de grande amplitude) ou entre
0, 01 et 0, 15 radians (oscillations de faible amplitude). Les résultats sont représentés sur la
figure 15.18.
π
2π
3π ω 0 t
θ
0
1.5
1.0
0.5
−1.5
−1.0
−0.5
π
2π
3π ω 0 t
θ
0
0.15
0.10
0.05
−0.15
−0.10
−0.05
Figure 15.18 – Évolution temporelle de l’angle θ pour différentes conditions initiales.
À gauche, l’amplitude des oscillations est comprise entre 0,1 et 1,5 rad ; à droite, elle
est comprise entre 0,01 et 0,15 rad.
Dans tous les cas, on observe des oscillations périodiques. Pour les oscillations de grande
amplitude, la période de ces oscillations dépend de θ 0 donc des conditions initiales. Lorsque
l’amplitude des oscillations reste petite (inférieure à 0,4 rad environ), les oscillations ont une
période commune. On parle d’isochronisme des petites oscillations. On va chercher à établir
ce résultat en linéarisant l’équation différentielle (15.6) pour les petits angles.
9.4 Cas des oscillations de faibles amplitudes
a) Linéarisation et résolution analytique
Dans le cas où θ reste petit devant 1, on peut assimiler sin θ à θ et linéariser l’équation (15.6).
On obtient alors l’équation différentielle linéaire :
¨
θ + ω
2
0 θ = 0.
(15.7)
La variable angulaire θ vérifie alors l’équation différentielle d’un oscillateur harmonique que
l’on a étudié au premier chapitre de cet ouvrage. Les solutions pour θ (t) sont de la forme
θ = A cos(ω 0 t) + B sin(ω 0 t),
où A et B sont des constantes. Les conditions initiales θ (t = 0) = θ 0 et ˙
θ (t = 0) = 0 s’écrivent :
θ 0 = A et 0 = Bω 0 ,
soit A = θ 0 et B = 0. Finalement :
θ = θ 0 cos(ω 0 t).
553