CHAPITRE 15 – PRINCIPES DE LA DYNAMIQUE NEWTONIENNE
A •
•
O
x
L
θ
− → u r
− →
u θ
− →
P
− →
T
M
− → g
Figure 15.17 – Le pendule simple
◦ la tension du fil :
− →
T = −T − → u r où T > 0.
• choix de la méthode de résolution : on utilise le principe fondamental de la dynamique qui
s’écrit :
m − → a = ∑
i
− →
f i = m − → g +
−
→
T .
Une étape importante consiste à réfléchir à la forme géométrique de la trajectoire du mobile
pour choisir correctement le système de coordonnées. Ici, le mouvement étant plan et le fil
inextensible, le point M se déplace sur une portion de cercle de centre O et de rayon L.
Le repérage polaire s’impose et, en utilisant le cours de cinématique sur les mouvements
circulaires, on établit l’expression de l’accélération en coordonnées polaires définis sur le
schéma de la figure 15.17 :
− − →
OM = L − → u r ; − → v = L ˙
θ − →
u θ ; − → a = −L ˙
θ
2− → u r + L ¨
θ − →
u θ .
Par ailleurs, on projette tous les vecteurs sur la base polaire ( − → u r , − →
u θ ) et en particulier la force
− →
P puisque que
− →
T = −T − → u r est déjà écrite sur cette base. Pour cela, on s’aide du schéma de
la figure 15.17 et on trouve :
− →
P = mg cos θ −
→ u r − mg sin θ − →
u θ .
Il ne reste plus qu’à projeter le principe fondamental de la dynamique sur − → u r et − →
u θ :
−mL ˙
θ 2 = mg cosθ − T
mL ¨
θ
= −mg sin θ
La première équation permet d’établir l’expression de la tension du fil T qui est une inconnue de ce mouvement, à condition de connaître l’évolution temporelle de θ . La deuxième
équation est l’équation du mouvement. Sa résolution donne l’expression de θ (t). En posant
ω 0 =
g/L, on peut l’écrire :
¨
θ + ω
2
0 sin θ = 0.
(15.6)
Cette équation n’est pas linéaire et on ne peut pas la résoudre simplement. Deux approches
sont possibles : la résolution numérique ou la linéarisation en vue de trouver une solution
analytique.
552
A •
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O
x
L
θ
− → u r
− →
u θ
− →
P
− →
T
M
− → g
Figure 15.17 – Le pendule simple
◦ la tension du fil :
− →
T = −T − → u r où T > 0.
• choix de la méthode de résolution : on utilise le principe fondamental de la dynamique qui
s’écrit :
m − → a = ∑
i
− →
f i = m − → g +
−
→
T .
Une étape importante consiste à réfléchir à la forme géométrique de la trajectoire du mobile
pour choisir correctement le système de coordonnées. Ici, le mouvement étant plan et le fil
inextensible, le point M se déplace sur une portion de cercle de centre O et de rayon L.
Le repérage polaire s’impose et, en utilisant le cours de cinématique sur les mouvements
circulaires, on établit l’expression de l’accélération en coordonnées polaires définis sur le
schéma de la figure 15.17 :
− − →
OM = L − → u r ; − → v = L ˙
θ − →
u θ ; − → a = −L ˙
θ
2− → u r + L ¨
θ − →
u θ .
Par ailleurs, on projette tous les vecteurs sur la base polaire ( − → u r , − →
u θ ) et en particulier la force
− →
P puisque que
− →
T = −T − → u r est déjà écrite sur cette base. Pour cela, on s’aide du schéma de
la figure 15.17 et on trouve :
− →
P = mg cos θ −
→ u r − mg sin θ − →
u θ .
Il ne reste plus qu’à projeter le principe fondamental de la dynamique sur − → u r et − →
u θ :
−mL ˙
θ 2 = mg cosθ − T
mL ¨
θ
= −mg sin θ
La première équation permet d’établir l’expression de la tension du fil T qui est une inconnue de ce mouvement, à condition de connaître l’évolution temporelle de θ . La deuxième
équation est l’équation du mouvement. Sa résolution donne l’expression de θ (t). En posant
ω 0 =
g/L, on peut l’écrire :
¨
θ + ω
2
0 sin θ = 0.
(15.6)
Cette équation n’est pas linéaire et on ne peut pas la résoudre simplement. Deux approches
sont possibles : la résolution numérique ou la linéarisation en vue de trouver une solution
analytique.
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