CHAPITRE 15 – PRINCIPES DE LA DYNAMIQUE NEWTONIENNE
θ (t) présente des oscillations sinusoïdales de pulsation ω 0 et de période T 0 =
2π
ω 0
indépendante de θ 0 . Dans la limite des oscillations de faible amplitude, on vient de montrer l’isochronisme des petites oscillations avec une période :
T 0 = 2π
L
g
.
En pratique, l’isochronisme est assuré avec une précision de 1% lorsque θ reste inférieur à
environ 0,4 rad soit environ 25 ◦ .
b) Portrait de phase
On peut intégrer l’équation (15.7) pour obtenir une intégrale première du mouvement et en
déduire le portrait de phase. La méthode est détaillée dans l’annexe mathématique de ce livre.
On commence par écrire l’équation (15.7) sous la forme
¨
θ (t) = −ω
2
0 θ (t),
et on multiplie cette égalité par ˙
θ :
¨
θ ˙
θ = −ω
2
0 θ (t) ˙
θ ⇐⇒
d
˙
θ 2 /2
dt
= −ω
2
0
d
θ 2 /2
dt
⇐⇒
d
˙
θ 2 + ω 2
0 θ 2
dt
= 0.
On déduit alors que : ˙
θ
2
+ ω
2
0 θ
2
= C, où C est une constante d’intégration.
Les conditions initiales θ (0) = θ 0 et ˙
θ (0) = 0 permettent de déterminer C :
˙
θ
2
+ ω
2
0 θ
2
= ω
2
0 θ
2
0 ,
que l’on peut également écrire :
˙
θ
ω 0 θ 0
2
+
θ
θ 0
2
= 1.
On reconnaît l’équation d’un cercle de centre O et de rayon 1 dans le plan de phase adimensionné
θ
θ 0
,
˙
θ
ω 0 θ 0
que l’on trace sur la figure 15.19.
Remarque
On appelle intégrale première du mouvement une grandeur conservée au cours du
mouvement obtenue en intégrant une fois le principe fondamental de la dynamique. Ici,
la quantité
˙
θ
ω 0 θ 0
2
+
θ
θ 0
2
= 1 est une intégrale première du mouvement.
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