TIR D’UN PROJECTILE DANS LE CHAMP DE PESANTEUR
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10
x
y
Figure 15.14 – Parabole de sûreté pour une vitesse initiale de 10 m·s −1 .
8.3 Tir en tenant compte de la résistance de l’air
Dans l’étude précédente, on n’a pas tenu compte de la résistance de l’air. L’air étant un gaz,
on modélise sa résistance par une force de frottement proportionnelle au carré de la vitesse.
L’équation du mouvement est la même que l’équation (15.4) établie au paragraphe 7.4 :
m − → a = −k 2 v − → v + m − → g .
Lorsque la vitesse initiale n’est pas nulle, on ne peut résoudre cette équation différentielle que
numériquement et pour cela, il est intéressant de la rendre adimensionnelle en introduisant
des grandeurs caractéristiques.
a) Équation différentielle adimensionnelle
Il s’agit de la même équation différentielle que celle que l’on a étudiée au paragraphe 7.4. On
introduit la même vitesse limite v l =
mg
k 2
et le même temps caractéristique τ =
v l
g
. On pose
t = τt ∗ où t ∗ est un temps adimensionné et − → v = v l
− → v ∗ où − → v ∗ est une vitesse adimensionnée. On déduit − → a =
d − → v
dt
=
d(v l
− → v ∗ )
d(τt ∗ )
=
v l
τ
d − → v ∗
dt ∗ = g
d − → v ∗
dt ∗ . On reporte ces expressions dans
l’équation différentielle précédente et on obtient :
d − → v ∗
dt ∗ = −v
∗− → v
∗
− −
→ u y .
On introduit alors l’échelle de longueur l = v l τ pour définir les longueurs adimensionnelles
x ∗ =
x
l
et y ∗ =
y
l
. Par projection sur les axes (Ox) et (Oy), on obtient les équations sans
dimensions :
¨
x ∗ = − ˙
x ∗
˙
x ∗2 + ˙
y ∗2
¨
y
∗
= − ˙
y
∗
˙
x ∗2 + ˙
y ∗2 − 1,
qui ne peuvent être résolues que par des méthodes numériques.
Cette écriture montre que le type de comportement du mobile n’est déterminé que par sa
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8.3 Tir en tenant compte de la résistance de l’air
Dans l’étude précédente, on n’a pas tenu compte de la résistance de l’air. L’air étant un gaz,
on modélise sa résistance par une force de frottement proportionnelle au carré de la vitesse.
L’équation du mouvement est la même que l’équation (15.4) établie au paragraphe 7.4 :
m − → a = −k 2 v − → v + m − → g .
Lorsque la vitesse initiale n’est pas nulle, on ne peut résoudre cette équation différentielle que
numériquement et pour cela, il est intéressant de la rendre adimensionnelle en introduisant
des grandeurs caractéristiques.
a) Équation différentielle adimensionnelle
Il s’agit de la même équation différentielle que celle que l’on a étudiée au paragraphe 7.4. On
introduit la même vitesse limite v l =
mg
k 2
et le même temps caractéristique τ =
v l
g
. On pose
t = τt ∗ où t ∗ est un temps adimensionné et − → v = v l
− → v ∗ où − → v ∗ est une vitesse adimensionnée. On déduit − → a =
d − → v
dt
=
d(v l
− → v ∗ )
d(τt ∗ )
=
v l
τ
d − → v ∗
dt ∗ = g
d − → v ∗
dt ∗ . On reporte ces expressions dans
l’équation différentielle précédente et on obtient :
d − → v ∗
dt ∗ = −v
∗− → v
∗
− −
→ u y .
On introduit alors l’échelle de longueur l = v l τ pour définir les longueurs adimensionnelles
x ∗ =
x
l
et y ∗ =
y
l
. Par projection sur les axes (Ox) et (Oy), on obtient les équations sans
dimensions :
¨
x ∗ = − ˙
x ∗
˙
x ∗2 + ˙
y ∗2
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= − ˙
y
∗
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x ∗2 + ˙
y ∗2 − 1,
qui ne peuvent être résolues que par des méthodes numériques.
Cette écriture montre que le type de comportement du mobile n’est déterminé que par sa
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