CHAPITRE 15 – PRINCIPES DE LA DYNAMIQUE NEWTONIENNE
x
y
− → u x
− → u y
•
O
− → g
− → v 0
α 2
− → v 0
α 1
•
point à atteindre
tir tendu
tir en cloche
d
Figure 15.13 – Les deux trajectoires possibles d’un tir dans le vide.
Parabole de sûreté On cherche à déterminer l’ensemble des points (x 0 , y 0 ) qu’il est possible
d’atteindre pour une vitesse v 0 donnée. Ce sera le cas si l’équation d’inconnue α :
y 0 = −
gx 2
0
2v 2
0 cos 2 α
+ x 0 tan α
admet des solutions. En utilisant le fait que 1 + tan
2
α = 1 +
sin
2
α
cos 2 α
=
cos 2 α + sin
2
α
cos 2 α
=
1
cos 2 α
, on aboutit à l’équation en X = tan α suivante :
gx 2
0
2v 2
0
X
2
− x 0 X +
gx 2
0
2v 2
0
+ y 0 = 0.
Cette équation du second degré n’admet des solutions réelles (seules acceptables ici) que si
son discriminant est positif donc si :
Δ = x
2
0 − 4
gx 2
0
2v 2
0
gx 2
0
2v 2
0
+ y 0
≥ 0 ⇐⇒ y 0 ≤
v 2
0
2g
−
gx 2
0
2v 2
0
.
Un point ne peut donc être atteint que s’il se trouve dans le plan (xOz) sous la parabole
d’équation :
y =
v 2
0
2g
−
gx
2
2v 2
0
.
Cette parabole est appelée parabole de sûreté. C’est l’enveloppe des trajectoires obtenues en
faisant varier l’angle de lancement pour une vitesse initiale de module donné. La figure 15.14
représente les trajectoires pour différents angles de tir avec une vitesse initiale de 10 m·s −1
ainsi que la parabole de sûreté en trait plus épais.
Pour un point situé sous la parabole de sûreté, on a deux solutions pour l’angle α, donc deux
angles de tir possibles permettant d’atteindre le point considéré. L’un correspond au tir tendu,
l’autre au tir en cloche.
Lorsque le point considéré appartient à la parabole de sûreté, le discriminant est nul. Dans ce
cas, il est possible de l’atteindre mais il n’y aura qu’une seule valeur possible pour l’angle de
tir, à savoir arctan
v 2
0
g
.
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x
y
− → u x
− → u y
•
O
− → g
− → v 0
α 2
− → v 0
α 1
•
point à atteindre
tir tendu
tir en cloche
d
Figure 15.13 – Les deux trajectoires possibles d’un tir dans le vide.
Parabole de sûreté On cherche à déterminer l’ensemble des points (x 0 , y 0 ) qu’il est possible
d’atteindre pour une vitesse v 0 donnée. Ce sera le cas si l’équation d’inconnue α :
y 0 = −
gx 2
0
2v 2
0 cos 2 α
+ x 0 tan α
admet des solutions. En utilisant le fait que 1 + tan
2
α = 1 +
sin
2
α
cos 2 α
=
cos 2 α + sin
2
α
cos 2 α
=
1
cos 2 α
, on aboutit à l’équation en X = tan α suivante :
gx 2
0
2v 2
0
X
2
− x 0 X +
gx 2
0
2v 2
0
+ y 0 = 0.
Cette équation du second degré n’admet des solutions réelles (seules acceptables ici) que si
son discriminant est positif donc si :
Δ = x
2
0 − 4
gx 2
0
2v 2
0
gx 2
0
2v 2
0
+ y 0
≥ 0 ⇐⇒ y 0 ≤
v 2
0
2g
−
gx 2
0
2v 2
0
.
Un point ne peut donc être atteint que s’il se trouve dans le plan (xOz) sous la parabole
d’équation :
y =
v 2
0
2g
−
gx
2
2v 2
0
.
Cette parabole est appelée parabole de sûreté. C’est l’enveloppe des trajectoires obtenues en
faisant varier l’angle de lancement pour une vitesse initiale de module donné. La figure 15.14
représente les trajectoires pour différents angles de tir avec une vitesse initiale de 10 m·s −1
ainsi que la parabole de sûreté en trait plus épais.
Pour un point situé sous la parabole de sûreté, on a deux solutions pour l’angle α, donc deux
angles de tir possibles permettant d’atteindre le point considéré. L’un correspond au tir tendu,
l’autre au tir en cloche.
Lorsque le point considéré appartient à la parabole de sûreté, le discriminant est nul. Dans ce
cas, il est possible de l’atteindre mais il n’y aura qu’une seule valeur possible pour l’angle de
tir, à savoir arctan
v 2
0
g
.
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