TIR D’UN PROJECTILE DANS LE CHAMP DE PESANTEUR
Remarque
On peut également intégrer l’équation vectorielle (15.5) et obtenir : − → v = − → g t + − → v 0 puis
− − →
OM =
1
2
− → g t 2 + − → v 0 t +
− −→
OM 0 ce qui permet de ne projeter que pour étudier la trajectoire.
Hauteur maximale atteinte Elle correspond au sommet de la parabole et s’obtient en résolvant l’équation :
dy
dx
=
−gx
v 2
0 cos 2 α
+ tanα = 0 soit x m =
v 2
0 sin α cos α
g
.
L’altitude maximale atteinte est alors :
y m =
v 2
0 sin
2
α
2g
.
Portée du tir La portée du tir correspond à l’endroit où le point matériel retombe sur le sol
qu’on suppose plan et horizontal d’altitude y = 0. On obtient l’expression de la portée en
résolvant l’équation :
0 = y = −
g
2v 2
0 cos 2 α
x
2
+ x tan α = x
tan α −
g
2v 2
0 cos 2 α
x
.
On obtient deux solutions :
x = 0
et
x =
v 2
0 sin 2α
g
.
La solution x = 0 correspond à la position d’origine du tir qui appartient naturellement à la
trajectoire. Il est normal de la trouver mais elle ne présente pas d’intérêt ici. La portée du tir
est donc :
x p =
v 2
0 sin 2α
g
.
On note qu’elle est maximale pour α =
π
4
.
Exemple
C’est l’angle avec lequel sautent les grenouilles pour retomber le plus loin possible.
Tir tendu ou tir en cloche On s’interroge maintenant sur la possibilité d’atteindre un point
à la même altitude que celle où s’effectue le tir et situé à une distance donnée d de l’origine
du tir (figure 15.13). Le seul paramètre variable est l’angle de tir α. D’après le paragraphe
précédent, il faut chercher les valeurs de α vérifiant l’équation :
d =
v 2
0 sin 2α
g
.
La résolution de cette équation conduit à deux solutions dans l’intervalle
0,
π
2
:
α =
1
2
arcsin
gd
v 2
0
ou α =
π
2
−
1
2
arcsin
gd
v 2
0
.
On obtient deux angles de tir possibles : la valeur la plus faible correspond au tir tendu tandis
que la valeur la plus grande est celle du tir en cloche (voir figure 15.13).
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Remarque
On peut également intégrer l’équation vectorielle (15.5) et obtenir : − → v = − → g t + − → v 0 puis
− − →
OM =
1
2
− → g t 2 + − → v 0 t +
− −→
OM 0 ce qui permet de ne projeter que pour étudier la trajectoire.
Hauteur maximale atteinte Elle correspond au sommet de la parabole et s’obtient en résolvant l’équation :
dy
dx
=
−gx
v 2
0 cos 2 α
+ tanα = 0 soit x m =
v 2
0 sin α cos α
g
.
L’altitude maximale atteinte est alors :
y m =
v 2
0 sin
2
α
2g
.
Portée du tir La portée du tir correspond à l’endroit où le point matériel retombe sur le sol
qu’on suppose plan et horizontal d’altitude y = 0. On obtient l’expression de la portée en
résolvant l’équation :
0 = y = −
g
2v 2
0 cos 2 α
x
2
+ x tan α = x
tan α −
g
2v 2
0 cos 2 α
x
.
On obtient deux solutions :
x = 0
et
x =
v 2
0 sin 2α
g
.
La solution x = 0 correspond à la position d’origine du tir qui appartient naturellement à la
trajectoire. Il est normal de la trouver mais elle ne présente pas d’intérêt ici. La portée du tir
est donc :
x p =
v 2
0 sin 2α
g
.
On note qu’elle est maximale pour α =
π
4
.
Exemple
C’est l’angle avec lequel sautent les grenouilles pour retomber le plus loin possible.
Tir tendu ou tir en cloche On s’interroge maintenant sur la possibilité d’atteindre un point
à la même altitude que celle où s’effectue le tir et situé à une distance donnée d de l’origine
du tir (figure 15.13). Le seul paramètre variable est l’angle de tir α. D’après le paragraphe
précédent, il faut chercher les valeurs de α vérifiant l’équation :
d =
v 2
0 sin 2α
g
.
La résolution de cette équation conduit à deux solutions dans l’intervalle
0,
π
2
:
α =
1
2
arcsin
gd
v 2
0
ou α =
π
2
−
1
2
arcsin
gd
v 2
0
.
On obtient deux angles de tir possibles : la valeur la plus faible correspond au tir tendu tandis
que la valeur la plus grande est celle du tir en cloche (voir figure 15.13).
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