CHAPITRE 15 – PRINCIPES DE LA DYNAMIQUE NEWTONIENNE
Par rapport au mouvement de chute libre sans vitesse
initiale vu précédemment, seules les conditions initiales sont modifiées. La position initiale du mobile
est un point M 0 et son mouvement a lieu dans un plan
vertical P contenant M 0 , − → g et − → v 0 .
Sans rien enlever à la généralité du problème, on choisit l’origine du repère O en M 0 , un axe (Oy) vertical
ascendant et l’axe (Ox) contenu dans P et orthogonal
à (Oy) et on utilise une base de projection cartésienne
réduite à un plan (xOy).
x
y
− → u x
− → u y
•
O
− → v 0
− → g
α
Figure 15.12 –
Conditions initiales
d’un tir dans le vide.
L’étude cinématique du mouvement dans le plan (xOy) en coordonnées cartésiennes donne :
− − →
OM =
x
y
, − → v =
˙
x
˙
y
, − → a =
¨
x
¨
y
.
Dans un premier temps, on néglige la résistance de l’air. On tiendra compte par la suite d’une
force proportionnelle au carré de la vitesse qui modélise bien les frottements dus à un gaz.
8.2 Tir dans le vide
On néglige la résistance de l’air au cours du mouvement. Cela revient à considérer que le vol
balistique se fait dans le vide. L’équation (15.3) établie au paragraphe 7.2 est inchangée :
− → a = − → g .
(15.5)
Le mouvement est à nouveau un mouvement à accélération constante étudié en cinématique
du point. On la projette cette fois sur les axes (Ox) et (Oy) pour obtenir :
¨
x = 0
¨
y = −g.
Par intégrations successives en tenant compte des conditions initiales
˙
x(t = 0) = v 0 cos α
˙
y(t = 0) = v 0 sin α
et
x(t = 0) = 0
y(t = 0) = 0,
on obtient : ⎧
⎨
⎩
˙
x = v 0 cosα
˙
y = −gt + v 0 sin α
puis
⎧
⎨
⎩
x = v 0 t cos α
y = −
1
2
gt 2 + v 0 t sin α.
L’équation de la trajectoire s’obtient en éliminant le temps dans les équations horaires.
De l’expression de x en fonction du temps, on tire : t =
x
v 0 cos α
, puis en reportant dans
l’expression de y :
y = −
g
2v 2
0 cos 2 α
x
2
+ x tan α.
La trajectoire est donc une parabole.
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Par rapport au mouvement de chute libre sans vitesse
initiale vu précédemment, seules les conditions initiales sont modifiées. La position initiale du mobile
est un point M 0 et son mouvement a lieu dans un plan
vertical P contenant M 0 , − → g et − → v 0 .
Sans rien enlever à la généralité du problème, on choisit l’origine du repère O en M 0 , un axe (Oy) vertical
ascendant et l’axe (Ox) contenu dans P et orthogonal
à (Oy) et on utilise une base de projection cartésienne
réduite à un plan (xOy).
x
y
− → u x
− → u y
•
O
− → v 0
− → g
α
Figure 15.12 –
Conditions initiales
d’un tir dans le vide.
L’étude cinématique du mouvement dans le plan (xOy) en coordonnées cartésiennes donne :
− − →
OM =
x
y
, − → v =
˙
x
˙
y
, − → a =
¨
x
¨
y
.
Dans un premier temps, on néglige la résistance de l’air. On tiendra compte par la suite d’une
force proportionnelle au carré de la vitesse qui modélise bien les frottements dus à un gaz.
8.2 Tir dans le vide
On néglige la résistance de l’air au cours du mouvement. Cela revient à considérer que le vol
balistique se fait dans le vide. L’équation (15.3) établie au paragraphe 7.2 est inchangée :
− → a = − → g .
(15.5)
Le mouvement est à nouveau un mouvement à accélération constante étudié en cinématique
du point. On la projette cette fois sur les axes (Ox) et (Oy) pour obtenir :
¨
x = 0
¨
y = −g.
Par intégrations successives en tenant compte des conditions initiales
˙
x(t = 0) = v 0 cos α
˙
y(t = 0) = v 0 sin α
et
x(t = 0) = 0
y(t = 0) = 0,
on obtient : ⎧
⎨
⎩
˙
x = v 0 cosα
˙
y = −gt + v 0 sin α
puis
⎧
⎨
⎩
x = v 0 t cos α
y = −
1
2
gt 2 + v 0 t sin α.
L’équation de la trajectoire s’obtient en éliminant le temps dans les équations horaires.
De l’expression de x en fonction du temps, on tire : t =
x
v 0 cos α
, puis en reportant dans
l’expression de y :
y = −
g
2v 2
0 cos 2 α
x
2
+ x tan α.
La trajectoire est donc une parabole.
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