TIR D’UN PROJECTILE DANS LE CHAMP DE PESANTEUR
permet au mobile d’accélérer jusqu’à v l puis une phase de régime permanent lors de laquelle
la vitesse est constante et égale à v l :
• v l =
mg
k 2
représente la vitesse finale du mobile ;
• τ =
v l
g
=
m
k 2 g
est le temps caractéristique nécessaire pour que v l soit atteinte.
Ces deux paramètres sont indépendants des conditions initiales et déterminent entièrement
l’évolution temporelle de la vitesse de chute du système. Les paramètres m, g, k 2 n’interviennent pas indépendamment mais seulement sous la forme de combinaisons formant v l et τ.
7.5 Comparaison des deux modèles de frottements
Dans les deux cas, le mouvement comporte une phase d’accélération d’une durée de quelques
τ suivie d’une évolution à vitesse constante et égale à la vitesse limite ce qui est bien en
accord avec les observations de chutes libres de parachutistes. Cependant, l’expression de
cette vitesse n’est pas la même :
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
v l =
mg
k 1
pour un frottement proportionnel à la vitesse,
v l =
mg
k 2
pour un frottement proportionnel au carré de la vitesse.
En pratique, c’est la mesure de ces vitesses limites qui permet de déterminer la valeur des
constantes k 1 et k 2 et on ne peut pas discriminer ces modèles par cette seule étude. Pour
déterminer lequel de ces deux modèles est le plus proche de la réalité, il est nécessaire de faire
des essais en soufflerie ou de raisonner sur l’énergie. On obtient alors les résultats suivants :
• un frottement proportionnel à la vitesse convient bien lorsque les vitesses sont faibles, ou
que la chute a lieu dans un liquide visqueux ;
• lorsque les vitesses deviennent plus importantes et que la chute a lieu dans un gaz comme
l’air, un frottement proportionnel au carré de la vitesse est plus adapté.
La méthode employée dans le cas d’un frottement proportionnel au carré de la vitesse est
intéressante : l’introduction d’une valeur limite pour la vitesse suivie de la séparation des variables v et t permet de transformer une équation différentielle a priori compliquée à résoudre
en une intégrale « classique ». L’idée d’introduire un paramètre limite pour simplifier la résolution est souvent une idée à tester. Le fait de rendre les équations sans dimension avant de
chercher à les résoudre également.
8 Tir d’un projectile dans le champ de pesanteur
8.1 Mise en équation
On étudie toujours le mouvement d’un point matériel M de masse m dans le champ de pesanteur − → g . On s’intéresse maintenant au cas du vol balistique pour lequel le point matériel est
initialement lancé avec une vitesse − → v 0 faisant un angle α avec l’horizontale.
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permet au mobile d’accélérer jusqu’à v l puis une phase de régime permanent lors de laquelle
la vitesse est constante et égale à v l :
• v l =
mg
k 2
représente la vitesse finale du mobile ;
• τ =
v l
g
=
m
k 2 g
est le temps caractéristique nécessaire pour que v l soit atteinte.
Ces deux paramètres sont indépendants des conditions initiales et déterminent entièrement
l’évolution temporelle de la vitesse de chute du système. Les paramètres m, g, k 2 n’interviennent pas indépendamment mais seulement sous la forme de combinaisons formant v l et τ.
7.5 Comparaison des deux modèles de frottements
Dans les deux cas, le mouvement comporte une phase d’accélération d’une durée de quelques
τ suivie d’une évolution à vitesse constante et égale à la vitesse limite ce qui est bien en
accord avec les observations de chutes libres de parachutistes. Cependant, l’expression de
cette vitesse n’est pas la même :
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
v l =
mg
k 1
pour un frottement proportionnel à la vitesse,
v l =
mg
k 2
pour un frottement proportionnel au carré de la vitesse.
En pratique, c’est la mesure de ces vitesses limites qui permet de déterminer la valeur des
constantes k 1 et k 2 et on ne peut pas discriminer ces modèles par cette seule étude. Pour
déterminer lequel de ces deux modèles est le plus proche de la réalité, il est nécessaire de faire
des essais en soufflerie ou de raisonner sur l’énergie. On obtient alors les résultats suivants :
• un frottement proportionnel à la vitesse convient bien lorsque les vitesses sont faibles, ou
que la chute a lieu dans un liquide visqueux ;
• lorsque les vitesses deviennent plus importantes et que la chute a lieu dans un gaz comme
l’air, un frottement proportionnel au carré de la vitesse est plus adapté.
La méthode employée dans le cas d’un frottement proportionnel au carré de la vitesse est
intéressante : l’introduction d’une valeur limite pour la vitesse suivie de la séparation des variables v et t permet de transformer une équation différentielle a priori compliquée à résoudre
en une intégrale « classique ». L’idée d’introduire un paramètre limite pour simplifier la résolution est souvent une idée à tester. Le fait de rendre les équations sans dimension avant de
chercher à les résoudre également.
8 Tir d’un projectile dans le champ de pesanteur
8.1 Mise en équation
On étudie toujours le mouvement d’un point matériel M de masse m dans le champ de pesanteur − → g . On s’intéresse maintenant au cas du vol balistique pour lequel le point matériel est
initialement lancé avec une vitesse − → v 0 faisant un angle α avec l’horizontale.
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