CHAPITRE 15 – PRINCIPES DE LA DYNAMIQUE NEWTONIENNE
puisque
m
k 2 v 2
l
=
1
g
. On aboutit à une équation différentielle à variables séparables :
dv
1 −
v
v l
2 = gdt
soit
d
v
v l
1 −
v
v l
2 =
g
v l
dt.
On définit alors la vitesse adimensionnée v ∗ =
v
v l
et le temps caractéristique τ =
v l
g
dont on
se sert pour établir un temps adimensionné t ∗ =
t
τ
. On obtient alors l’équation :
dv ∗
1 − v ∗2 = dt
∗
=⇒
ˆ v ∗ (t)
v ∗ (t=0)=0
dv ∗
1 − v ∗2 =
ˆ t ∗
0
dt
∗
.
On sait calculer cette intégrale analytiquement ou numériquement. Cela permet de représenter
la courbe de la figure 15.11 sur laquelle on remarque que v
∗ augmente de 0 à 1 qu’elle atteint
pratiquement lorsque t ∗ atteint environ 3. Cela signifie que la vitesse du mobile augmente
vers sa vitesse limite v l qui est atteinte après quelques τ.
0
1
2
3
4
5
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
t ∗
v
∗
Figure 15.11 – Évolution de la vitesse en fonction du temps lors d’une chute libre avec
frottements proportionnels au carré de la vitesse.
Remarque
La solution analytique, obtenue à l’aide de la méthode de décomposition en éléments
simples vue en mathématique, est v
∗
=
exp(t ∗ ) − exp(−t ∗ )
exp(t ∗ ) + exp(−t ∗ )
=
sh(t ∗ )
ch(t ∗ )
= th(t
∗
) où sh, ch
et th sont les fonctions trigonométriques hyperboliques définies dans l’annexe mathématique.
b) Retour sur l’analyse initiale
Comme précédemment, la vitesse du mobile tend vers la vitesse limite lorsque le temps tend
vers l’infini et évolue en deux phases : une phase de régime transitoire qui dure quelques τ et
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