CHUTE LIBRE DANS LE CHAMP DE PESANTEUR
0
1
2
3
4
5
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
t ∗
v ∗
Figure 15.10 – Évolution de la vitesse en fonction du temps lors d’une chute libre avec
frottements proportionnels à la vitesse.
7.4 Chute libre avec frottements proportionnels au carré de la vitesse
On considère à présent que la force de frottement
− →
f se met sous la forme
− →
f = −k 2 v − → v , en
notant, ici encore, v la norme de la vitesse. Le principe fondamental de la dynamique s’écrit
alors :
m
d − → v
dt
= m − → g − k 2 v − → v .
(15.4)
Comme précédemment, la chute a lieu vers le bas, − → v = −v − → u y , − → a = −
dv
dt
− → u y et − → g = −g − → u y .
L’équation du mouvement est obtenue par projection du principe fondamental de la dynamique sur l’axe (Oy) :
m
dv
dt
+ k 2 v
2
= mg.
Cette équation n’est pas linéaire, on ne peut donc pas la résoudre comme la précédente.
a) Analyse physique de l’équation différentielle du mouvement
Pour les mêmes raisons qu’en présence de frottements proportionnels à la vitesse, le point
matériel atteint une vitesse limite v l lorsque le poids est compensé par la force de frottement
d’où :
k 2 v
2
= mg
⇐⇒
v = v l =
mg
k 2
.
On introduit alors la vitesse limite dans l’équation différentielle qui devient :
m
k 2
dv
dt
+ v
2
= v
2
l
⇐⇒
m
k 2 v 2
l
dv
dt
= 1 −
v
v l
2
⇐⇒
1
g
dv
dt
= 1 −
v
v l
2
.
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