CHAPITRE 15 – PRINCIPES DE LA DYNAMIQUE NEWTONIENNE
b) Résolution de l’équation différentielle du mouvement
La solution de cette équation est la somme de la solution générale de l’équation homogène
associée v h (t) et d’une solution particulière v p (t).
La résolution de l’équation homogène associée conduit à v h (t) = λ exp
−
t
τ
où λ est une
constante. On recherche une solution particulière sous la forme d’une constante puisque le
second membre est constant d’où v p (t) = gτ = v l . La solution générale est alors :
v(t) = C exp
−
t
τ
+ v l .
On détermine la constante à l’aide des conditions initiales à savoir v(t = 0) = 0 = λ + v l soit
λ = v l et on obtient :
v(t) = v l
1 − exp
−
t
τ
.
La chute ayant lieu vers le bas, ˙
y est négatif. La norme de la vitesse v étant toujours positive,
v = − ˙
y. La position y se déduit alors par intégration par rapport au temps de ˙
y = −v :
˙
y = −v = −v l
1 − exp
−
t
τ
=⇒ y = −v l t − v l τ exp
−
t
τ
+ K.
La constante K s’obtient en tenant compte de la position initiale : y(t = 0) = h = −v l τ + K
soit K = h + v l τ et finalement :
y(t) = −v l t + v l τ
1 − exp
−
t
τ
+ h.
c) Retour sur l’analyse initiale
Pour analyser l’expression de la vitesse en fonction du temps : v(t) = v l
1 − exp
−
t
τ
, on
définit une vitesse et un temps sans dimension en notant v ∗ =
v
v l
et t ∗ =
t
τ
. On obtient alors :
v
∗
(t) = 1 − exp(−t
∗
),
et on trace l’évolution de v ∗ en fonction de t ∗ qui sur la figure 15.10.
On remarque que v ∗ augmente de 0 à 1 qu’elle atteint pratiquement lorsque t ∗ atteint environ
5. Cela signifie que la vitesse du mobile augmente vers sa vitesse limite v l qui est atteinte
après quelques τ. La vitesse évolue en deux phases : une phase transitoire qui dure quelques
τ et permet au mobile d’accélérer jusqu’à v l puis une phase permanente lors de laquelle la
vitesse est constante et égale à v l :
• v l =
m
k 1
g représente la vitesse finale du mobile ;
• τ =
v l
g
=
m
k 1
est le temps caractéristique nécessaire pour que v l soit atteinte.
Ces deux paramètres sont indépendants des conditions initiales et déterminent entièrement
l’évolution temporelle de la vitesse de chute du système. Les paramètres m, g et k 1 n’interviennent pas indépendamment mais seulement sous la forme de combinaisons formant v l et τ.
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b) Résolution de l’équation différentielle du mouvement
La solution de cette équation est la somme de la solution générale de l’équation homogène
associée v h (t) et d’une solution particulière v p (t).
La résolution de l’équation homogène associée conduit à v h (t) = λ exp
−
t
τ
où λ est une
constante. On recherche une solution particulière sous la forme d’une constante puisque le
second membre est constant d’où v p (t) = gτ = v l . La solution générale est alors :
v(t) = C exp
−
t
τ
+ v l .
On détermine la constante à l’aide des conditions initiales à savoir v(t = 0) = 0 = λ + v l soit
λ = v l et on obtient :
v(t) = v l
1 − exp
−
t
τ
.
La chute ayant lieu vers le bas, ˙
y est négatif. La norme de la vitesse v étant toujours positive,
v = − ˙
y. La position y se déduit alors par intégration par rapport au temps de ˙
y = −v :
˙
y = −v = −v l
1 − exp
−
t
τ
=⇒ y = −v l t − v l τ exp
−
t
τ
+ K.
La constante K s’obtient en tenant compte de la position initiale : y(t = 0) = h = −v l τ + K
soit K = h + v l τ et finalement :
y(t) = −v l t + v l τ
1 − exp
−
t
τ
+ h.
c) Retour sur l’analyse initiale
Pour analyser l’expression de la vitesse en fonction du temps : v(t) = v l
1 − exp
−
t
τ
, on
définit une vitesse et un temps sans dimension en notant v ∗ =
v
v l
et t ∗ =
t
τ
. On obtient alors :
v
∗
(t) = 1 − exp(−t
∗
),
et on trace l’évolution de v ∗ en fonction de t ∗ qui sur la figure 15.10.
On remarque que v ∗ augmente de 0 à 1 qu’elle atteint pratiquement lorsque t ∗ atteint environ
5. Cela signifie que la vitesse du mobile augmente vers sa vitesse limite v l qui est atteinte
après quelques τ. La vitesse évolue en deux phases : une phase transitoire qui dure quelques
τ et permet au mobile d’accélérer jusqu’à v l puis une phase permanente lors de laquelle la
vitesse est constante et égale à v l :
• v l =
m
k 1
g représente la vitesse finale du mobile ;
• τ =
v l
g
=
m
k 1
est le temps caractéristique nécessaire pour que v l soit atteinte.
Ces deux paramètres sont indépendants des conditions initiales et déterminent entièrement
l’évolution temporelle de la vitesse de chute du système. Les paramètres m, g et k 1 n’interviennent pas indépendamment mais seulement sous la forme de combinaisons formant v l et τ.
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