CHUTE LIBRE DANS LE CHAMP DE PESANTEUR
7.3 Chute libre avec frottements proportionnels à la vitesse
On ne néglige plus la force de frottement
− →
f et on la prend sous la forme
− →
f = −k 1
− → v . Le
principe fondamental de la dynamique s’écrit alors :
m − → a = −k 1
− → v + m − → g .
La chute ayant lieu vers le bas, ˙
y est négatif. La norme de la vitesse étant toujours positive,
v = − ˙
y. Le vecteur vitesse −
→ v vaut donc − → v = ˙
y − → u y = −v − → u y et on en déduit que :
− → a = ¨
y − → u y = −
dv
dt
− → u y .
Comme − → g = −g − → u y , le principe fondamental de la dynamique projeté sur l’axe (Oy) donne
l’équation du mouvement :
m
dv
dt
+ k 1 v = mg.
a) Analyse de l’équation différentielle du mouvement
Deux forces sont en présence :
• une force motrice, le poids, orientée vers le bas et responsable du mouvement de chute ;
• une force de freinage, le frottement fluide, opposée au mouvement dont la norme augmente
lorsque la vitesse augmente.
À partir d’une vitesse initiale nulle, le point M chute de plus en plus vite et la force de freinage
proportionnelle à la vitesse augmente. Au bout d’un moment, la force motrice et la force de
freinage se compensent. Dans ces conditions, la somme des forces s’annule, le système est
pseudo-isolé et son mouvement est par la suite rectiligne et uniforme à la vitesse limite v l qui
assure l’égalité du poids et de la force de frottement :
k 1 v = mg
⇐⇒
v = v l =
mg
k 1
.
Très souvent, il est intéressant d’introduire les paramètres physiques que l’on a obtenu de
cette manière dans l’équation différentielle pour faciliter sa résolution. Dans le cas présent,
on trouve :
m
k 1
dv
dt
+ v =
mg
k 1
⇐⇒
v l
g
dv
dt
+ v = v l
de la forme
τ
dv
dt
+ v = v l
avec
τ =
v l
g
=
m
k 1
.
On reconnaît une équation différentielle linéaire du premier ordre dont le temps caractéristique τ correspond à l’échelle de temps nécessaire pour atteindre un régime permanent
caractérisé par v = v l .
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