Exercices Exercices Corrigés
CHAPITRE 14 – CINÉMATIQUE DU SOLIDE
CORRIGÉS
14.1 Rotation d’une barre autour d’un axe fixe
1. Le point A appartient à l’axe de rotation (Oz) fixe dans R. Il est donc fixe.
2. La barre est un solide en rotation autour de l’axe fixe (Oz) à la vitesse angulaire Ω. B décrit
donc une trajectoire circulaire et uniforme à la vitesse angulaire Ω. Le centre de la trajectoire
de B est son projeté orthogonal H sur l’axe de rotation (Oz).
La trajectoire de B est circulaire de centre H de coordonnées (0, 0, z = L cos α) et de rayon HB = r = L sin α
dans le plan perpendiculaire à (Oz) passant par H.
On définit la base cylindrique qui suit la barre dans son
mouvement de rotation et on applique les résultats du
cours de Cinématique du point en coordonnées cylindriques pour trouver :
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
− →
OB = r − → u r + z − → u z = L sin α − → u r + L cos α − → u z
− → v
= L sin(α)Ω − →
u θ
− → a
= −L sin(α)Ω 2− → u r .
x
y
z
O = A
α
B
L s i n α
L
cos
α
θ
− → u r
− →
u θ
H
14.2 Mouvement d’une nacelle de grande roue
1. Une nacelle est en translation circulaire de rayon R =
H
2
et parcourt le cercle en une durée
Δt = 10 min.
Sa vitesse angulaire moyenne est donc < ˙
θ >=
2π
Δt
=
2 × 3, 1415
10 × 60
= 0,010 rad·s
−1 .
Sa vitesse linéaire moyenne est :
< R ˙
θ >=
2πR
Δt
= 0,31 m·s
−1
Tous les points de la nacelle décrivent un
cercle de même rayon avec la même vitesse
moyenne. Par contre, comme on le voit sur la
figure ci-contre, la trajectoire n’est pas centrée
sur le même point. Le bas de la nacelle décrit
un cercle centré sur O 2 alors que le point d’attache de la nacelle sur la roue décrit un cercle
centré sur O 1 situé à d = 2,5 m au dessus.
O 1
O 2
d
518
CHAPITRE 14 – CINÉMATIQUE DU SOLIDE
CORRIGÉS
14.1 Rotation d’une barre autour d’un axe fixe
1. Le point A appartient à l’axe de rotation (Oz) fixe dans R. Il est donc fixe.
2. La barre est un solide en rotation autour de l’axe fixe (Oz) à la vitesse angulaire Ω. B décrit
donc une trajectoire circulaire et uniforme à la vitesse angulaire Ω. Le centre de la trajectoire
de B est son projeté orthogonal H sur l’axe de rotation (Oz).
La trajectoire de B est circulaire de centre H de coordonnées (0, 0, z = L cos α) et de rayon HB = r = L sin α
dans le plan perpendiculaire à (Oz) passant par H.
On définit la base cylindrique qui suit la barre dans son
mouvement de rotation et on applique les résultats du
cours de Cinématique du point en coordonnées cylindriques pour trouver :
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
− →
OB = r − → u r + z − → u z = L sin α − → u r + L cos α − → u z
− → v
= L sin(α)Ω − →
u θ
− → a
= −L sin(α)Ω 2− → u r .
x
y
z
O = A
α
B
L s i n α
L
cos
α
θ
− → u r
− →
u θ
H
14.2 Mouvement d’une nacelle de grande roue
1. Une nacelle est en translation circulaire de rayon R =
H
2
et parcourt le cercle en une durée
Δt = 10 min.
Sa vitesse angulaire moyenne est donc < ˙
θ >=
2π
Δt
=
2 × 3, 1415
10 × 60
= 0,010 rad·s
−1 .
Sa vitesse linéaire moyenne est :
< R ˙
θ >=
2πR
Δt
= 0,31 m·s
−1
Tous les points de la nacelle décrivent un
cercle de même rayon avec la même vitesse
moyenne. Par contre, comme on le voit sur la
figure ci-contre, la trajectoire n’est pas centrée
sur le même point. Le bas de la nacelle décrit
un cercle centré sur O 2 alors que le point d’attache de la nacelle sur la roue décrit un cercle
centré sur O 1 situé à d = 2,5 m au dessus.
O 1
O 2
d
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