CHAPITRE 2 – PROPAGATION D’UN SIGNAL
c) Synthèse de Fourier
Toute l’information que l’on peut avoir sur un signal est contenue dans les spectres d’amplitude (ou énergie) et de phase. L’opération consistant à reconstituer un signal s(t) dont on
connaît le spectre (fréquences f i , amplitudes A i et phases initiales ϕ i ) par la formule 2.1 est
appelée synthèse de Fourier.
1.3 Cas d’un signal périodique de forme quelconque
Dans ce paragraphe on s’intéresse à un signal périodique dont on note T S la période et f S =
1
T S
la fréquence. Il s’agit d’un signal de forme quelconque, a priori non sinusoïdal.
a) Analyse spectrale d’un signal périodique
Un théorème mathématique important découvert au début du XIX ème siècle par le mathématicien et physicien français Joseph Fourier indique que :
Tout signal périodique de fréquence f S et de forme quelconque peut se reconstituer par
la superposition de signaux sinusoïdaux de fréquences multiples de f S : 0, f S , 2 f S , ... ,
n f S ,... Il peut donc s’écrire sous la forme :
s(t) = A 0 +
∞
∑
n=1
A n cos (2π n f S t + ϕ n ) ,
(2.2)
où les A n sont des constantes positives et les ϕ n des constantes.
La somme infinie de la formule (2.2) est le développement en série de Fourier du signal
s(t). Les formules permettant de trouver les amplitudes A n et les phases initiales ϕ n des
composantes sinusoïdales du signal ne sont pas au programme.
L’usage a consacré des noms pour les différents termes qui apparaissent dans la série de
Fourier :
• A 0 est appelée composante continue, c’est la moyenne du signal qui est la plupart du
temps nulle dans le cas d’une onde ;
• la composante sinusoïdale A 1 cos(2π f S t + ϕ 1 ) qui a la même fréquence f S que le signal
s(t) est appelée fondamental ;
• la composante sinusoïdale A n cos(2πn f S t + ϕ n ), qui a une fréquence n fois plus élevée que
la fréquence du signal, avec n ≥ 2, est appelée harmonique de rang n.
Ainsi le spectre d’un signal périodique a l’allure représentée sur la figure 2.2.
Remarque
Le spectre d’un signal sinusoïdal ne comporte qu’un fondamental.
50
c) Synthèse de Fourier
Toute l’information que l’on peut avoir sur un signal est contenue dans les spectres d’amplitude (ou énergie) et de phase. L’opération consistant à reconstituer un signal s(t) dont on
connaît le spectre (fréquences f i , amplitudes A i et phases initiales ϕ i ) par la formule 2.1 est
appelée synthèse de Fourier.
1.3 Cas d’un signal périodique de forme quelconque
Dans ce paragraphe on s’intéresse à un signal périodique dont on note T S la période et f S =
1
T S
la fréquence. Il s’agit d’un signal de forme quelconque, a priori non sinusoïdal.
a) Analyse spectrale d’un signal périodique
Un théorème mathématique important découvert au début du XIX ème siècle par le mathématicien et physicien français Joseph Fourier indique que :
Tout signal périodique de fréquence f S et de forme quelconque peut se reconstituer par
la superposition de signaux sinusoïdaux de fréquences multiples de f S : 0, f S , 2 f S , ... ,
n f S ,... Il peut donc s’écrire sous la forme :
s(t) = A 0 +
∞
∑
n=1
A n cos (2π n f S t + ϕ n ) ,
(2.2)
où les A n sont des constantes positives et les ϕ n des constantes.
La somme infinie de la formule (2.2) est le développement en série de Fourier du signal
s(t). Les formules permettant de trouver les amplitudes A n et les phases initiales ϕ n des
composantes sinusoïdales du signal ne sont pas au programme.
L’usage a consacré des noms pour les différents termes qui apparaissent dans la série de
Fourier :
• A 0 est appelée composante continue, c’est la moyenne du signal qui est la plupart du
temps nulle dans le cas d’une onde ;
• la composante sinusoïdale A 1 cos(2π f S t + ϕ 1 ) qui a la même fréquence f S que le signal
s(t) est appelée fondamental ;
• la composante sinusoïdale A n cos(2πn f S t + ϕ n ), qui a une fréquence n fois plus élevée que
la fréquence du signal, avec n ≥ 2, est appelée harmonique de rang n.
Ainsi le spectre d’un signal périodique a l’allure représentée sur la figure 2.2.
Remarque
Le spectre d’un signal sinusoïdal ne comporte qu’un fondamental.
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