SIGNAUX PHYSIQUES, SPECTRE
A i
ϕ i
π
−π
0
0
f
f
f S
f S
2 f S
2 f S
3 f S
3 f S
n f S
n f S
fondamental
harmoniques
composante
continue
Figure 2.2 – Spectre d’un signal périodique s(t) : amplitude et phase initiale.
b) Exemple de synthèse de Fourier d’un signal périodique (MPSI)
On considère le signal représenté sur la figure 2.3, de période T S . En définissant un temps
adimensionnel t ∗ =
t
T S
, on peut écrire ce signal : s(t) = 0, 625(t ∗ − 0, 4) si 0 ≤ t ∗ ≤ 0, 8 et
s(t) = 2, 5(t ∗ − 0, 9) si 0, 8 ≤ t ∗ ≤ 1.
s(t)
0.25
−0, 25
t
T S
T S
0, 8T S
Figure 2.3 – Exemple de signal périodique non sinusoïdal de période T S .
Les amplitudes et phases initiales des composantes sinusoïdales de ce signal sont facilement
calculables et on trouve :
A n =
1
πn 2 |sin(0, 8πn)| et ϕ n = (−0, 5 − 0.2r)π,
où r est le reste de la division de n par 5. Ce spectre est représenté sur la figure 2.4.
On peut tester la synthèse de Fourier en calculant et représentant les sommes partielles :
S n (t) =
n
∑
i=1
A n cos(2πt
∗
− ϕ n ).
Les résultats sont donnés sur la figure 2.5. On voit le signal se construire petit à petit à partir
de son fondamental et de ses harmoniques de rang de plus en plus élevé. La somme S 3 limitée
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