SOLIDES EN ROTATION AUTOUR D’UN AXE FIXE
On peut donc définir sa position par ses coordonnées polaires de centre H. On pose
− →
HP = r,
− → u r =
− →
HP
r
et − →
u θ = − → u z ∧ − → u r le vecteur du plan (Hxy) directement orthogonal à − → u r . On obtient
alors :
− →
HP = r − → u r
et
− → v P/R = r ˙
θ − →
u θ .
La vitesse angulaire ˙
θ est commune à tous les points du solide et mesure la vitesse de rotation
du solide autour de son axe de rotation. Elle s’exprime en rad·s −1 .
Le mouvement d’un point P lié à un solide en rotation autour d’un axe fixe Δ est un
mouvement circulaire situé dans le plan perpendiculaire à Δ contenant P. La trajectoire
est caractérisée par
• son centre H, projeté orthogonal P sur l’axe de rotation Δ,
• son rayon r, distance de P à l’axe de rotation Δ,
• sa vitesse angulaire ˙
θ égale à la vitesse de rotation du solide autour de Δ.
Dans le système de coordonnées cylindriques d’origine O et d’axe (Oz), la vitesse instantanée du point P s’écrit :
− → v P/R = r ˙
θ − →
u θ .
Il suffit d’une coordonnée angulaire θ pour décrire la position du solide et on est ramené au
cas du mouvement circulaire de la cinématique du point.
Remarque
• L’axe de rotation n’est pas forcément situé à l’intérieur du solide.
• La vitesse de rotation est parfois donnée en tour·min
−1 , qui n’est pas une unité du
Système International.
3.3 Conséquences
Le déplacement angulaire infinitésimal dθ , la vitesse angulaire ˙
θ , ainsi que l’accélération
angulaire ¨
θ sont identiques pour chacun des points du solide donc :
• cela a un sens de parler de rotation et de vitesse de rotation du solide ;
• le mouvement du solide est parfaitement défini par la donnée du déplacement angulaire
d’un de ses points.
Remarque
En lien avec le cours de cinématique du solide de SII, le torseur cinématique pour
ce type de mouvement est de la forme glisseur. En prenant − → u z orienté selon l’axe de
rotation, le vecteur
− →
Ω = ˙
θ −
→ u z est le vecteur instantané de rotation du solide par rapport
à R. La vitesse de P s’exprime alors − → v P/R =
− →
Ω ∧
− →
OP = ˙
θ −
→ u z ∧ r − → u r = r ˙
θ − →
u θ où le
vecteur − →
u θ = − → u z ∧ −
→ u r est tel que ( − → u r , − →
u θ , − → u z ) est une base orthonormée directe.
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On peut donc définir sa position par ses coordonnées polaires de centre H. On pose
− →
HP = r,
− → u r =
− →
HP
r
et − →
u θ = − → u z ∧ − → u r le vecteur du plan (Hxy) directement orthogonal à − → u r . On obtient
alors :
− →
HP = r − → u r
et
− → v P/R = r ˙
θ − →
u θ .
La vitesse angulaire ˙
θ est commune à tous les points du solide et mesure la vitesse de rotation
du solide autour de son axe de rotation. Elle s’exprime en rad·s −1 .
Le mouvement d’un point P lié à un solide en rotation autour d’un axe fixe Δ est un
mouvement circulaire situé dans le plan perpendiculaire à Δ contenant P. La trajectoire
est caractérisée par
• son centre H, projeté orthogonal P sur l’axe de rotation Δ,
• son rayon r, distance de P à l’axe de rotation Δ,
• sa vitesse angulaire ˙
θ égale à la vitesse de rotation du solide autour de Δ.
Dans le système de coordonnées cylindriques d’origine O et d’axe (Oz), la vitesse instantanée du point P s’écrit :
− → v P/R = r ˙
θ − →
u θ .
Il suffit d’une coordonnée angulaire θ pour décrire la position du solide et on est ramené au
cas du mouvement circulaire de la cinématique du point.
Remarque
• L’axe de rotation n’est pas forcément situé à l’intérieur du solide.
• La vitesse de rotation est parfois donnée en tour·min
−1 , qui n’est pas une unité du
Système International.
3.3 Conséquences
Le déplacement angulaire infinitésimal dθ , la vitesse angulaire ˙
θ , ainsi que l’accélération
angulaire ¨
θ sont identiques pour chacun des points du solide donc :
• cela a un sens de parler de rotation et de vitesse de rotation du solide ;
• le mouvement du solide est parfaitement défini par la donnée du déplacement angulaire
d’un de ses points.
Remarque
En lien avec le cours de cinématique du solide de SII, le torseur cinématique pour
ce type de mouvement est de la forme glisseur. En prenant − → u z orienté selon l’axe de
rotation, le vecteur
− →
Ω = ˙
θ −
→ u z est le vecteur instantané de rotation du solide par rapport
à R. La vitesse de P s’exprime alors − → v P/R =
− →
Ω ∧
− →
OP = ˙
θ −
→ u z ∧ r − → u r = r ˙
θ − →
u θ où le
vecteur − →
u θ = − → u z ∧ −
→ u r est tel que ( − → u r , − →
u θ , − → u z ) est une base orthonormée directe.
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