Exercices Exercices Corrigés
CHAPITRE 13 – CINÉMATIQUE DU POINT
soit :
− − →
OM = l cos (θ 0 sin ωt) − → u x + l sin (θ 0 sin ωt) − → u y .
Cette expression est délicate à dériver, ce qui explique que les coordonnées polaire soient en
général préférables pour étudier ce problème.
3. Pour les oscillations de faible amplitude, on obtient :
a.
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
− − →
OM = lθ 0 sin ωt − → u y + l − → u x
−
→ v
= lωθ 0 cos ωt − → u y
−
→ a
= −lω 2 θ 0 sin ωt − → u y .
b. Pour déplacer l’origine du repère cartésien en P, on utilise la relation de Chasles
−→
PM =
− →
PO +
− − →
OM = −l − → u x +
− − →
OM et on remarque que le vecteur
− →
PO est un vecteur constant dont les
dérivées temporelles sont identiquement nulles. On obtient alors :
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
−→
PM = Y − → u y = lθ 0 sin ωt − → u y
− → v = ˙
Y − → u y = lωθ 0 cos ωt − → u y
− → a = ¨
Y − → u y = −lω
2
θ 0 sin ωt − → u y .
Le mouvement du point M vérifie alors ¨
Y + ω 2 Y = 0. Il s’agit du mouvement d’un oscillateur
harmonique d’axe (Py), centré sur P, d’amplitude lθ 0 et de pulsation ω.
13.7 Mouvement helicoidal
1. On utilise l’expression générale de la vitesse en coordonnées cylindriques :
− → v = ˙
r − → u r + r ˙
θ − →
u θ + ˙
z − → u z = Rω − →
u θ + h − → u z .
2. En calculant la norme de l’expression précédente, on obtient v =
(Rω)
2 + h 2 .
3. On utilise l’expression générale de l’accélération en coordonnées cylindriques :
− → a =
¨
r − r ˙
θ
2
− → u r +
2˙ r ˙
θ + r ¨
θ
− →
u θ + ¨
z − → u z = −Rω
2− → u r .
13.8 Courses entre véhicules radio-commandés
1. Pour le premier, on a une accélération a 1 constante soit après une double intégration
l’équation horaire suivante x 1 =
1
2
a 1 t
2 .
Pour le second, on a de même x 2 =
1
2
a 2 (t − t 0 )
2 en tenant compte du retard t 0 au départ.
On cherche l’instant t pour lequel on a x 1 (t) = x 2 (t). La résolution de l’équation du second
degré (a 1 − a 2 )t 2 − 2a 2 t 0 t + a 2 t 2
0 = 0 donne t =
a 2 ±
√
a 1 a 2
a 2 − a 1
t 0 .
L’application numérique donne t = 9,5 s et t = 0,5 s. La seconde solution n’est pas possible
puisque l’un des deux n’est pas encore parti !
Il faut donc 8,5 s pour que le second rattrape le premier.
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CHAPITRE 13 – CINÉMATIQUE DU POINT
soit :
− − →
OM = l cos (θ 0 sin ωt) − → u x + l sin (θ 0 sin ωt) − → u y .
Cette expression est délicate à dériver, ce qui explique que les coordonnées polaire soient en
général préférables pour étudier ce problème.
3. Pour les oscillations de faible amplitude, on obtient :
a.
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
− − →
OM = lθ 0 sin ωt − → u y + l − → u x
−
→ v
= lωθ 0 cos ωt − → u y
−
→ a
= −lω 2 θ 0 sin ωt − → u y .
b. Pour déplacer l’origine du repère cartésien en P, on utilise la relation de Chasles
−→
PM =
− →
PO +
− − →
OM = −l − → u x +
− − →
OM et on remarque que le vecteur
− →
PO est un vecteur constant dont les
dérivées temporelles sont identiquement nulles. On obtient alors :
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
−→
PM = Y − → u y = lθ 0 sin ωt − → u y
− → v = ˙
Y − → u y = lωθ 0 cos ωt − → u y
− → a = ¨
Y − → u y = −lω
2
θ 0 sin ωt − → u y .
Le mouvement du point M vérifie alors ¨
Y + ω 2 Y = 0. Il s’agit du mouvement d’un oscillateur
harmonique d’axe (Py), centré sur P, d’amplitude lθ 0 et de pulsation ω.
13.7 Mouvement helicoidal
1. On utilise l’expression générale de la vitesse en coordonnées cylindriques :
− → v = ˙
r − → u r + r ˙
θ − →
u θ + ˙
z − → u z = Rω − →
u θ + h − → u z .
2. En calculant la norme de l’expression précédente, on obtient v =
(Rω)
2 + h 2 .
3. On utilise l’expression générale de l’accélération en coordonnées cylindriques :
− → a =
¨
r − r ˙
θ
2
− → u r +
2˙ r ˙
θ + r ¨
θ
− →
u θ + ¨
z − → u z = −Rω
2− → u r .
13.8 Courses entre véhicules radio-commandés
1. Pour le premier, on a une accélération a 1 constante soit après une double intégration
l’équation horaire suivante x 1 =
1
2
a 1 t
2 .
Pour le second, on a de même x 2 =
1
2
a 2 (t − t 0 )
2 en tenant compte du retard t 0 au départ.
On cherche l’instant t pour lequel on a x 1 (t) = x 2 (t). La résolution de l’équation du second
degré (a 1 − a 2 )t 2 − 2a 2 t 0 t + a 2 t 2
0 = 0 donne t =
a 2 ±
√
a 1 a 2
a 2 − a 1
t 0 .
L’application numérique donne t = 9,5 s et t = 0,5 s. La seconde solution n’est pas possible
puisque l’un des deux n’est pas encore parti !
Il faut donc 8,5 s pour que le second rattrape le premier.
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