Exercices Exercices Corrigés
CORRIGÉS
2. Il suffit de reporter la valeur de t dans l’une ou l’autre des équations horaires. On trouve x =
181 m. On peut vérifier qu’on trouve bien la même valeur avec les deux équations horaires.
La deuxième voiture arrive après la première au 100 m mais la dépasse avant l’arrivée au
200 m.
3. Quant aux vitesses, elles sont v 1 = 38 m·s −1 et v 2 = 42,5 m·s −1 .
13.9 Parcours d’un cycliste sur un vélodrome
1. De D à E 1 , le mouvement est rectiligne uniformément accéléré. À l’instant t, la vitesse est
v = a 1 t puisque la vitesse initiale est nulle et la distance parcourue est d = a 1 t 2 /2, d’où :
t E 1 =
2DE 1
a 1
=
L
a 1
et v E 1 = a 1 t E 1 =
√
a 1 L.
2. Dans le virage, le mouvement est circulaire, donc l’expression de l’accélération est :
− → a = −R ˙
θ
2− → u r + R ¨
θ − →
u θ .
D’après l’énoncé, on a R ¨
θ = a 1 , on en déduit en intégrant, ˙
θ = a 1 t/R + cte. On prend une
nouvelle origine des temps en E 1 , alors cte = ˙
θ E 1 = v E 1 /R =
√
a 1 L/R. En prenant θ = 0 en
E 1 , on détermine :
θ (t) =
a 1 t 2
2R
+
√
a 1 L
R
t.
On obtient alors le temps de sortie du virage pour θ = π, ce qui revient à résoudre l’équation
du second degré :
t
2
+ 2
L
a 1
t −
2πR
a 1
= 0.
La racine positive est : t 1 = −
L
a 1
+
L + 2πR
a 1
, et la vitesse en S 1 est v S 1 = R ˙
θ (S 1 ) soit :
v S 1 = a 1 t 1 +
√
a 1 L =
(L + 2πR)a 1 .
Le temps t S 1 demandé dans l’énoncé est à partir de l’origine en D soit :
t S 1 = t E 1 + t 1 =
L + 2πR
a 1
.
3. La distance entre S 1 et E 2 est égale à L. On change de nouveau l’origine des temps (t = 0
en S 1 ) et on note x l’abscisse à partir de S 1 . L’intégration de ¨
x = a 1 avec une vitesse initiale
en S 1 donne : x =
a 1 t 2
2
+ v S 1 t. On doit donc résoudre l’équation suivante pour calculer t E 2 :
t
2
+ 2
v S 1
a 1
t −
2L
a 1
= 0
La racine positive est : t
1 = −
L + 2πR
a 1
+
3L + 2πR
a 1
d’où :
t E 2 = t
1 + t S 1 =
3L + 2πR
a 1
,
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CORRIGÉS
2. Il suffit de reporter la valeur de t dans l’une ou l’autre des équations horaires. On trouve x =
181 m. On peut vérifier qu’on trouve bien la même valeur avec les deux équations horaires.
La deuxième voiture arrive après la première au 100 m mais la dépasse avant l’arrivée au
200 m.
3. Quant aux vitesses, elles sont v 1 = 38 m·s −1 et v 2 = 42,5 m·s −1 .
13.9 Parcours d’un cycliste sur un vélodrome
1. De D à E 1 , le mouvement est rectiligne uniformément accéléré. À l’instant t, la vitesse est
v = a 1 t puisque la vitesse initiale est nulle et la distance parcourue est d = a 1 t 2 /2, d’où :
t E 1 =
2DE 1
a 1
=
L
a 1
et v E 1 = a 1 t E 1 =
√
a 1 L.
2. Dans le virage, le mouvement est circulaire, donc l’expression de l’accélération est :
− → a = −R ˙
θ
2− → u r + R ¨
θ − →
u θ .
D’après l’énoncé, on a R ¨
θ = a 1 , on en déduit en intégrant, ˙
θ = a 1 t/R + cte. On prend une
nouvelle origine des temps en E 1 , alors cte = ˙
θ E 1 = v E 1 /R =
√
a 1 L/R. En prenant θ = 0 en
E 1 , on détermine :
θ (t) =
a 1 t 2
2R
+
√
a 1 L
R
t.
On obtient alors le temps de sortie du virage pour θ = π, ce qui revient à résoudre l’équation
du second degré :
t
2
+ 2
L
a 1
t −
2πR
a 1
= 0.
La racine positive est : t 1 = −
L
a 1
+
L + 2πR
a 1
, et la vitesse en S 1 est v S 1 = R ˙
θ (S 1 ) soit :
v S 1 = a 1 t 1 +
√
a 1 L =
(L + 2πR)a 1 .
Le temps t S 1 demandé dans l’énoncé est à partir de l’origine en D soit :
t S 1 = t E 1 + t 1 =
L + 2πR
a 1
.
3. La distance entre S 1 et E 2 est égale à L. On change de nouveau l’origine des temps (t = 0
en S 1 ) et on note x l’abscisse à partir de S 1 . L’intégration de ¨
x = a 1 avec une vitesse initiale
en S 1 donne : x =
a 1 t 2
2
+ v S 1 t. On doit donc résoudre l’équation suivante pour calculer t E 2 :
t
2
+ 2
v S 1
a 1
t −
2L
a 1
= 0
La racine positive est : t
1 = −
L + 2πR
a 1
+
3L + 2πR
a 1
d’où :
t E 2 = t
1 + t S 1 =
3L + 2πR
a 1
,
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