Exercices Exercices Corrigés
CORRIGÉS
13.5 Slalom entre des cheminées ; épisode 2 de la guerre des étoiles
On choisit un repère cartésien (O, x, y) et on
note − → u x et − → u y les vecteurs de base. L’équation de la trajectoire, telle qu’elle apparaît
sur la figure, s’écrit y = a sin
2πx
L
. Il faut
déterminer a.
cheminée
cheminée
O
x
y
1. Selon (Ox), ˙
x = v 0 , soit x = v 0 t puisqu’à t = 0, x = 0. Le véhicule revient sur l’axe après
la sixième cheminée, ayant parcouru une distance D = 6L = 1200 m, la vitesse v 0 est donc
v 0 = 6L/t t = 100 m·s −1 ou 360 km·h −1 . La vitesse « au compteur » est encore plus grande
car le speeder ne ne se déplace pas en ligne droite.
2. En remplaçant x par son expression dans y, on obtient y = a sin
2πv 0 t
L
. L’accélération
a pour composantes ¨
x = ˙
v 0 = 0 et ¨
y. Il vient :
˙
y = a
2πv 0
L
cos
2πv 0 t
L
et ¨
y = −a
2πv 0
L
2
sin
2πv 0 t
L
Le sinus est compris dans l’intervalle [−1, 1], donc pour que l’accélération reste inférieure à
10g en valeur absolue, il faut :
a
2πv 0
L
2
≤ 10g ⇒ a ≤ 10g
L
2πv 0
2
L’application numérique donne : a = 9,9 m.
Il faut être excellent pilote pour passer aussi près des cheminées à cette vitesse. Il faut supporter de plus une accélération importante ; à titre de comparaison lors du catapultage d’un
avion depuis un porte-avion, l’accélération est environ 5g. Mais dans la cas étudié, il s’agit
de « Chevaliers Jedi » !
13.6 Etude cinématique du pendule simple
On étudie le mouvement de M dans le référentiel R dans lequel la droite OP et le plan du
mouvement sont fixes, le vecteur position s’écrit différemment selon la base de projection.
1.
− − →
OM = l − → u r sur la base polaire définie ci-contre. On
tire alors :
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
− → v = l ˙
θ − →
u θ = lωθ 0 cos ωt − →
u θ
− → a = −l ˙
θ
2− → u r + l ¨
θ − →
u θ
= −lω 2 θ 2
0 cos 2 ωt − → u r + lω 2 θ 0 sin ωt − →
u θ .
2. Sur la base cartésienne définie ci-contre, on a alors :
− − →
OM = x − → u x + y − → u y = l cos θ −
→ u x + l sin θ −
→ u y ,
P •
•
O
x
y
l
y
x
θ
− → u r
− →
u θ
− → u x
− → u y
M
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CORRIGÉS
13.5 Slalom entre des cheminées ; épisode 2 de la guerre des étoiles
On choisit un repère cartésien (O, x, y) et on
note − → u x et − → u y les vecteurs de base. L’équation de la trajectoire, telle qu’elle apparaît
sur la figure, s’écrit y = a sin
2πx
L
. Il faut
déterminer a.
cheminée
cheminée
O
x
y
1. Selon (Ox), ˙
x = v 0 , soit x = v 0 t puisqu’à t = 0, x = 0. Le véhicule revient sur l’axe après
la sixième cheminée, ayant parcouru une distance D = 6L = 1200 m, la vitesse v 0 est donc
v 0 = 6L/t t = 100 m·s −1 ou 360 km·h −1 . La vitesse « au compteur » est encore plus grande
car le speeder ne ne se déplace pas en ligne droite.
2. En remplaçant x par son expression dans y, on obtient y = a sin
2πv 0 t
L
. L’accélération
a pour composantes ¨
x = ˙
v 0 = 0 et ¨
y. Il vient :
˙
y = a
2πv 0
L
cos
2πv 0 t
L
et ¨
y = −a
2πv 0
L
2
sin
2πv 0 t
L
Le sinus est compris dans l’intervalle [−1, 1], donc pour que l’accélération reste inférieure à
10g en valeur absolue, il faut :
a
2πv 0
L
2
≤ 10g ⇒ a ≤ 10g
L
2πv 0
2
L’application numérique donne : a = 9,9 m.
Il faut être excellent pilote pour passer aussi près des cheminées à cette vitesse. Il faut supporter de plus une accélération importante ; à titre de comparaison lors du catapultage d’un
avion depuis un porte-avion, l’accélération est environ 5g. Mais dans la cas étudié, il s’agit
de « Chevaliers Jedi » !
13.6 Etude cinématique du pendule simple
On étudie le mouvement de M dans le référentiel R dans lequel la droite OP et le plan du
mouvement sont fixes, le vecteur position s’écrit différemment selon la base de projection.
1.
− − →
OM = l − → u r sur la base polaire définie ci-contre. On
tire alors :
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
− → v = l ˙
θ − →
u θ = lωθ 0 cos ωt − →
u θ
− → a = −l ˙
θ
2− → u r + l ¨
θ − →
u θ
= −lω 2 θ 2
0 cos 2 ωt − → u r + lω 2 θ 0 sin ωt − →
u θ .
2. Sur la base cartésienne définie ci-contre, on a alors :
− − →
OM = x − → u x + y − → u y = l cos θ −
→ u x + l sin θ −
→ u y ,
P •
•
O
x
y
l
y
x
θ
− → u r
− →
u θ
− → u x
− → u y
M
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