Exercices
CHAPITRE 13 – CINÉMATIQUE DU POINT
1. À t = 0, le mobile est en M 0 . Déterminer α, φ et ψ.
2. Des autres données, déduire β .
3. Déterminer les composantes de la vitesse ( ˙
x, ˙
y) et de l’accélération ( ¨
x, ¨
y).
4. Montrer que l’accélération est de la forme − → a = −ω 2 − − →
OM. Commenter.
13.5 Slalom entre des cheminées ; épisode 2 de la guerre des étoiles ()
Dans cet épisode de la Guerre des étoiles,
on peut assister à une course poursuite de
« speeder » entre des cheminées d’usine. On
suppose que le véhicule suit une trajectoire
sinusoïdale de slalom entre les cheminées
alignées selon l’axe (Ox). Elles sont espacées d’une distance L = 200 m.
cheminée
cheminée
O
x
1. Le véhicule conserve une vitesse v 0 constante selon (Ox) et met t t = 12 s pour revenir sur
l’axe après la sixième cheminée. En déduire la vitesse v 0 . Faire l’application numérique.
2. Déterminer l’amplitude de la sinusoïde pour que l’accélération reste inférieure à 10g en
valeur absolue, avec g = 9,8 m·s −2 . Que penser des valeurs obtenues ?
13.6 Etude cinématique du pendule simple ()
Le mouvement d’un point M accroché à un fil de longueur l dont l’autre extrémité est fixée en un point
O s’inscrit sur une portion de cercle de centre O et
de rayon l. On repère alors le point M dans le référentiel R par sa coordonnée angulaire θ définie sur
la figure ci-contre et on observe des oscillations pendulaires. Lorsque les oscillations sont de faibles amplitudes, on observe que l’angle polaire θ est tel que
θ (t) = θ 0 sin ωt en choisissant pour origine des temps
l’instant où M passe au point P.
P •
•
O
l
θ
M
1. Définir sur un schéma la base locale de projection polaire. Donner l’expression des vecteurs position, vitesse et accélération sur cette base.
2. Définir la base cartésienne de projection et donner l’expression du vecteur position sur
cette base.
3. Lorsque θ 0
π
2
, on a θ (t)
π
2
à tout instant et on peut utiliser les approximations
suivantes : cos θ 1 et sinθ θ .
a. Dans ces conditions, déterminer les composantes des vecteurs vitesses et accélération
en coordonnées cartésiennes.
b. En changeant l’origine du repère cartésien pour la placer en P, montrer que l’on obtient
alors une relation remarquable entre les vecteurs
−→
PM et − → a . Quelle est-elle ? Commenter.
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CHAPITRE 13 – CINÉMATIQUE DU POINT
1. À t = 0, le mobile est en M 0 . Déterminer α, φ et ψ.
2. Des autres données, déduire β .
3. Déterminer les composantes de la vitesse ( ˙
x, ˙
y) et de l’accélération ( ¨
x, ¨
y).
4. Montrer que l’accélération est de la forme − → a = −ω 2 − − →
OM. Commenter.
13.5 Slalom entre des cheminées ; épisode 2 de la guerre des étoiles ()
Dans cet épisode de la Guerre des étoiles,
on peut assister à une course poursuite de
« speeder » entre des cheminées d’usine. On
suppose que le véhicule suit une trajectoire
sinusoïdale de slalom entre les cheminées
alignées selon l’axe (Ox). Elles sont espacées d’une distance L = 200 m.
cheminée
cheminée
O
x
1. Le véhicule conserve une vitesse v 0 constante selon (Ox) et met t t = 12 s pour revenir sur
l’axe après la sixième cheminée. En déduire la vitesse v 0 . Faire l’application numérique.
2. Déterminer l’amplitude de la sinusoïde pour que l’accélération reste inférieure à 10g en
valeur absolue, avec g = 9,8 m·s −2 . Que penser des valeurs obtenues ?
13.6 Etude cinématique du pendule simple ()
Le mouvement d’un point M accroché à un fil de longueur l dont l’autre extrémité est fixée en un point
O s’inscrit sur une portion de cercle de centre O et
de rayon l. On repère alors le point M dans le référentiel R par sa coordonnée angulaire θ définie sur
la figure ci-contre et on observe des oscillations pendulaires. Lorsque les oscillations sont de faibles amplitudes, on observe que l’angle polaire θ est tel que
θ (t) = θ 0 sin ωt en choisissant pour origine des temps
l’instant où M passe au point P.
P •
•
O
l
θ
M
1. Définir sur un schéma la base locale de projection polaire. Donner l’expression des vecteurs position, vitesse et accélération sur cette base.
2. Définir la base cartésienne de projection et donner l’expression du vecteur position sur
cette base.
3. Lorsque θ 0
π
2
, on a θ (t)
π
2
à tout instant et on peut utiliser les approximations
suivantes : cos θ 1 et sinθ θ .
a. Dans ces conditions, déterminer les composantes des vecteurs vitesses et accélération
en coordonnées cartésiennes.
b. En changeant l’origine du repère cartésien pour la placer en P, montrer que l’on obtient
alors une relation remarquable entre les vecteurs
−→
PM et − → a . Quelle est-elle ? Commenter.
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