CHAPITRE 13 – CINÉMATIQUE DU POINT
Bilan pour un mouvement circulaire et uniforme
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎩
− − →
OM = R − → u r
− → v = Rω 0
− →
u θ
=v 0
− →
u θ
− → a = −R ˙
θ
2− → u r =−
v 2
0
R
− → u r
Un mouvement circulaire et uniforme est un mouvement à accélération angulaire nulle : ¨
θ = 0
et à vitesse angulaire constante ˙
θ = ω 0 . L’angle polaire θ évolue linéairement avec t sous la
forme θ = ω 0 t + θ 0 .
La norme de la vitesse est constante et égale à |v 0 | mais le vecteur vitesse n’est pas constant
puisque sa direction tourne au cours du temps. L’accélération n’est donc pas nulle. Elle est
radiale, centripète 1 et de norme
v 2
0
R
.
7.2 Généralisation : mouvement circulaire quelconque
On considère un point M en mouvement circulaire dans le référentiel dans R. Le mouvement
est réalisé sur un cercle C de centre C et de rayon R.
Choix du repère Le mouvement de M est circulaire. On utilise le même repérage polaire
que précédemment et la même base polaire de projection ( − → u r , − →
u θ ).
Le mouvement de M étant effectué sur un cercle de rayon R, il est à nouveau entièrement
paramétré par l’angle polaire θ (t) que l’on doit rechercher.
Position, vitesse et accélération Le vecteur position vaut :
− − →
OM = R − → u r .
On dérive le vecteur
− − →
OM pour trouver la vitesse :
− → v = R ˙
θ − →
u θ .
On dérive la vitesse pour trouver l’accélération en faisant attention à ˙
θ qui, cette fois, varie
au cours du temps :
− → a = R ˙
θ
d − →
u θ
dt
+ R
d ˙
θ
dt
− →
u θ = R ˙
θ (− ˙
θ −
→ u r ) + R ¨
θ − →
u θ
= −R ˙
θ
2− → u r + R ¨
θ − →
u θ .
Comme dans le cas du mouvement circulaire et uniforme, R ˙
θ
2
=
v 2
R
. Par ailleurs, si l’on
note v(t) = R ˙
θ , on obtient R ¨
θ =
dv
dt
et on en déduit :
− → a = −R ˙
θ
2− → u r + R ¨
θ − →
u θ = −
v 2
R
− → u r +
dv
dt
− →
u θ .
1. Un vecteur radial centripète est dirigé vers le centre de rotation O. Il est selon − − → u r . Un vecteur radial centrifuge
fuit le centre de rotation O . Il est selon + − → u r .
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