MOUVEMENTS CIRCULAIRES
7 Mouvements circulaires
7.1 Mouvement circulaire et uniforme
Exemple
Le mouvement d’un corps posé sur un plateau tournant à vitesse angulaire constante est
un mouvement circulaire et uniforme. Un exemple en est montré sur la figure 13.4 du
paragraphe 2.1.
On considère un point M en mouvement circulaire et uniforme dans le référentiel R. Le
mouvement est réalisé sur un cercle C de centre C et de rayon R parcouru à vitesse constante
(en norme).
Choix du repère Le mouvement de M est circulaire, il s’effectue donc dans un plan P. On
utilise le repérage polaire décrit au paragraphe 5.2 en choisissant le centre C du cercle C
comme origine O du repère du plan et (Ox) un diamètre du cercle comme origine des angles.
Tous les vecteurs du problème vont être projetés sur la base polaire mobile ( − → u r , − →
u θ ).
Le mouvement de M étant inscrit sur un cercle de rayon R, la distance de M à l’origine O du
repère est fixée à r = R. Le mouvement de M est entièrement paramétré par l’angle polaire
θ (t) que l’on doit rechercher. C’est l’équation horaire du mouvement.
Équation horaire du mouvement Le vecteur position vaut :
− − →
OM = R − → u r .
En utilisant le fait que R est constant et que
d − → u r
dt
= ˙
θ − →
u θ , on dérive
− − →
OM pour trouver :
− → v = R ˙
θ − →
u θ .
˙
θ est appelée la vitesse angulaire de M. De même ¨
θ est appelée accélération angulaire.
Le mouvement de M est uniforme. Cela signifie qu’il se fait à norme de la vitesse constante.
La vitesse est donc de la forme :
− → v = v 0
− →
u θ .
Cela implique que R ˙
θ = v 0 est constante. La vitesse angulaire est constante et égale à ˙
θ =
v 0
R
.
On la note souvent ω 0 : ˙
θ = ω 0 =
v 0
R
. La dérivation de cette relation montre que l’accélération angulaire est nulle : ¨
θ = 0.
Son intégration permet de trouver l’équation horaire du mouvement :
θ = ω 0 t + θ 0 =
v 0
R
t + θ 0 .
Dans cette équation, θ 0 est une constante d’intégration qui s’interprète comme la position
angulaire de M à l’instant initial. Il faut remarquer que la norme de la vitesse vaut |v 0 | et que
le signe de v 0 ou de ω 0 donne le sens de parcourt de la trajectoire circulaire :
• si v 0 > 0, la trajectoire est décrite dans le sens direct ;
• si v 0 < 0, la trajectoire est décrite dans le sens indirect.
485
7 Mouvements circulaires
7.1 Mouvement circulaire et uniforme
Exemple
Le mouvement d’un corps posé sur un plateau tournant à vitesse angulaire constante est
un mouvement circulaire et uniforme. Un exemple en est montré sur la figure 13.4 du
paragraphe 2.1.
On considère un point M en mouvement circulaire et uniforme dans le référentiel R. Le
mouvement est réalisé sur un cercle C de centre C et de rayon R parcouru à vitesse constante
(en norme).
Choix du repère Le mouvement de M est circulaire, il s’effectue donc dans un plan P. On
utilise le repérage polaire décrit au paragraphe 5.2 en choisissant le centre C du cercle C
comme origine O du repère du plan et (Ox) un diamètre du cercle comme origine des angles.
Tous les vecteurs du problème vont être projetés sur la base polaire mobile ( − → u r , − →
u θ ).
Le mouvement de M étant inscrit sur un cercle de rayon R, la distance de M à l’origine O du
repère est fixée à r = R. Le mouvement de M est entièrement paramétré par l’angle polaire
θ (t) que l’on doit rechercher. C’est l’équation horaire du mouvement.
Équation horaire du mouvement Le vecteur position vaut :
− − →
OM = R − → u r .
En utilisant le fait que R est constant et que
d − → u r
dt
= ˙
θ − →
u θ , on dérive
− − →
OM pour trouver :
− → v = R ˙
θ − →
u θ .
˙
θ est appelée la vitesse angulaire de M. De même ¨
θ est appelée accélération angulaire.
Le mouvement de M est uniforme. Cela signifie qu’il se fait à norme de la vitesse constante.
La vitesse est donc de la forme :
− → v = v 0
− →
u θ .
Cela implique que R ˙
θ = v 0 est constante. La vitesse angulaire est constante et égale à ˙
θ =
v 0
R
.
On la note souvent ω 0 : ˙
θ = ω 0 =
v 0
R
. La dérivation de cette relation montre que l’accélération angulaire est nulle : ¨
θ = 0.
Son intégration permet de trouver l’équation horaire du mouvement :
θ = ω 0 t + θ 0 =
v 0
R
t + θ 0 .
Dans cette équation, θ 0 est une constante d’intégration qui s’interprète comme la position
angulaire de M à l’instant initial. Il faut remarquer que la norme de la vitesse vaut |v 0 | et que
le signe de v 0 ou de ω 0 donne le sens de parcourt de la trajectoire circulaire :
• si v 0 > 0, la trajectoire est décrite dans le sens direct ;
• si v 0 < 0, la trajectoire est décrite dans le sens indirect.
485