CHAPITRE 13 – CINÉMATIQUE DU POINT
6.3 Mouvement rectiligne sinusoïdal : mouvement harmonique
Un mouvement rectiligne d’axe (Ox) tel que la coordonnée x du point M vérifie :
x(t) = X m cos(ω 0 t + ϕ 0 ),
est appelé mouvement rectiligne sinusoïdal. Ce mouvement a été étudié en détail lors de
l’étude de l’oscillateur harmonique.
Du point de vue cinématique, on remarque que la vitesse − → v = ˙
x − → u x est telle que :
˙
x(t) = −ω 0 X m sin(ω 0 t + ϕ 0 ) = ω 0 X m cos
ω 0 t + ϕ 0 +
π
2
.
De même, l’accélération − → a = ¨
x − → u x vaut :
¨
x(t) = −ω
2
0 X m cos(ω 0 t + ϕ 0 ) = ω
2
0 X m cos(ω 0 t + ϕ 0 + π).
La vitesse est donc en quadrature de phase positive avec la position (avance de phase de
π
2
)
et l’accélération en opposition de phase (avance de phase de π).
À l’instant initial, la position vaut x(t = 0) = X m cos ϕ 0 et la vitesse ˙
x(t = 0) = −ω 0 sin ϕ 0 .
L’abscisse x(t) est maximale à l’instant t 0 tel que ω 0 t 0 + ϕ 0 = 0 soit t 0 = −
ϕ 0
ω 0
.
X m
−X m
•
t 0
T =
2π
ω 0
t
O
Figure 13.27 – Position, vitesse et accélération en fonction du temps lors d’un
mouvement harmonique. x(t) est en trait plein noir.
˙
x(t)
ω 0
en pointillés noirs et
¨
x(t)
ω 2
0
en
trait plein gris. On peut voir que ˙
x est en avance et en quadrature de phase par rapport
à x et que ¨
x est en opposition de phase avec x.
La caractéristique cinématique principale des mouvements harmoniques est que l’accélération ¨
x et la position x sont reliées par une équation différentielle linéaire du deuxième ordre
du type :
¨
x + ω
2
0 x = 0.
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