CHAPITRE 13 – CINÉMATIQUE DU POINT
• la position de M à l’instant t = 0 : x(t = 0) ;
• la vitesse de M à l’instant t = 0 : ˙
x(t = 0).
Ce sont les conditions initiales du mouvement.
6.2 Mouvements à vecteur accélération constante
Exemple
Sur Terre, les corps lancés dans le vide suivent un mouvement à vecteur accélération
constante − → a = − → g où − → g est l’accélération de la pesanteur. Ce type de mouvement a
été présenté sur les chronophotographies du paragraphe 2.1. Selon la vitesse initiale − → v 0 ,
deux cas sont à envisager :
• un mouvement rectiligne dont un exemple est donné sur la figure 13.2 ;
• un mouvement parabolique dont un exemple est donné sur la figure 13.3.
On considère un point M dont le vecteur accélération est constant et égal à − → a = − → g avec − → g
indépendant du temps. On obtient alors − → v par intégration par rapport au temps :
− → v = − → v 0 + −
→ g t,
où − → v 0 est la vitesse de M à l’instant t = 0. On obtient la position en intégrant une nouvelle
fois :
− − →
OM =
−− →
OM 0 + −
→ v 0 t +
1
2
− → g t 2 .
Choix de l’origine du repère On choisit pour origine du repère la position du point M à
l’instant t = 0 de sorte que
− − →
OM 0 est égal à
− →
0 et on obtient :
− − →
OM = − → v 0 t +
1
2
− → g t
2
.
On peut alors tracer la trajectoire de M comme sur la figure 13.26.
Le mouvement est toujours plan et on le peut décomposer en un mouvement rectiligne et
uniforme à la vitesse − → v 0 et un mouvement rectiligne uniformément accéléré parallèle à − → g .
Le mouvement est manifestement plan et on a deux possibilités :
• − → v 0 −
→ g ou − → v 0 =
− →
0 et le mouvement est rectiligne selon la droite (O, − → g ) ;
• − → v 0 n’est pas parallèle à − → g et le mouvement est parabolique.
Par la suite, on n’envisage que ce deuxième cas.
Choix du repère Le mouvement est plan. On choisit le repérage cartésien décrit au paragraphe 5.1 avec (Oy) parallèle à − → g . On peut alors projeter tous les vecteurs sur la base de
projection ( − → u x , − → u y ). Or − → g = −g − → u y et − → v 0 = v 0 cos α − → u x + v 0 sin α − → u y , on trouve alors :
− → a =
¨
x = 0
¨
y = −g
; − → v =
˙
x = v 0 cos α
˙
y = −gt + v 0 sin α
;
− − →
OM =
x = v 0 cos α t
y = −
1
2
gt
2
+ v 0 sin α t.
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• la position de M à l’instant t = 0 : x(t = 0) ;
• la vitesse de M à l’instant t = 0 : ˙
x(t = 0).
Ce sont les conditions initiales du mouvement.
6.2 Mouvements à vecteur accélération constante
Exemple
Sur Terre, les corps lancés dans le vide suivent un mouvement à vecteur accélération
constante − → a = − → g où − → g est l’accélération de la pesanteur. Ce type de mouvement a
été présenté sur les chronophotographies du paragraphe 2.1. Selon la vitesse initiale − → v 0 ,
deux cas sont à envisager :
• un mouvement rectiligne dont un exemple est donné sur la figure 13.2 ;
• un mouvement parabolique dont un exemple est donné sur la figure 13.3.
On considère un point M dont le vecteur accélération est constant et égal à − → a = − → g avec − → g
indépendant du temps. On obtient alors − → v par intégration par rapport au temps :
− → v = − → v 0 + −
→ g t,
où − → v 0 est la vitesse de M à l’instant t = 0. On obtient la position en intégrant une nouvelle
fois :
− − →
OM =
−− →
OM 0 + −
→ v 0 t +
1
2
− → g t 2 .
Choix de l’origine du repère On choisit pour origine du repère la position du point M à
l’instant t = 0 de sorte que
− − →
OM 0 est égal à
− →
0 et on obtient :
− − →
OM = − → v 0 t +
1
2
− → g t
2
.
On peut alors tracer la trajectoire de M comme sur la figure 13.26.
Le mouvement est toujours plan et on le peut décomposer en un mouvement rectiligne et
uniforme à la vitesse − → v 0 et un mouvement rectiligne uniformément accéléré parallèle à − → g .
Le mouvement est manifestement plan et on a deux possibilités :
• − → v 0 −
→ g ou − → v 0 =
− →
0 et le mouvement est rectiligne selon la droite (O, − → g ) ;
• − → v 0 n’est pas parallèle à − → g et le mouvement est parabolique.
Par la suite, on n’envisage que ce deuxième cas.
Choix du repère Le mouvement est plan. On choisit le repérage cartésien décrit au paragraphe 5.1 avec (Oy) parallèle à − → g . On peut alors projeter tous les vecteurs sur la base de
projection ( − → u x , − → u y ). Or − → g = −g − → u y et − → v 0 = v 0 cos α − → u x + v 0 sin α − → u y , on trouve alors :
− → a =
¨
x = 0
¨
y = −g
; − → v =
˙
x = v 0 cos α
˙
y = −gt + v 0 sin α
;
− − →
OM =
x = v 0 cos α t
y = −
1
2
gt
2
+ v 0 sin α t.
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