EXEMPLES DE MOUVEMENTS ÉTUDIÉS EN COORDONNÉES CARTÉSIENNES
L’intégration de l’équation ˙
x = a 0 t + v 0 donne l’équation horaire du mouvement :
x = a 0
t 2
2
+ v 0 t + x 0 .
Dans cette équation, x 0 est une constante d’intégration qui s’interprète comme la position sur
l’axe (Ox) du point M à l’instant t = 0 puisque x(t = 0) = x 0 .
Bilan pour un mouvement rectiligne uniformément varié d’axe (Ox)
− → a = a 0
− → u x ; −
→ v = (a 0 t + v 0 ) − → u x ;
− − →
OM =
a 0
t 2
2
+ v 0 t + x 0
− → u x .
Selon les signes de v 0 et a 0 , donc selon les orientations de − → v 0 et − → a 0 , on a deux types de
mouvements possibles :
• si v 0 > 0 et a 0 > 0, le vecteur vitesse initiale et le vecteur accélération sont de même sens.
La norme de la vitesse est une fonction affine croissante du temps. Les équations horaires
décrivent un mouvement rectiligne et uniformément accéléré. Cette situation correspond
à un mobile que l’on lance verticalement vers le bas dans le référentiel terrestre, avec un
axe (Ox) orienté vers le bas.
• si v 0 < 0 et a 0 > 0, le vecteur vitesse initiale et le vecteur accélération sont de sens opposés.
Le mouvement se déroule en deux phases : la norme de la vitesse commence par diminuer
(le mouvement est alors uniformément décéléré), s’annule (le mobile atteint un point extrême), puis recommence à augmenter (le mobile a rebroussé chemin et suit un mouvement
rectiligne et uniformément accéléré). Cette situation correspond à un mobile que l’on lance
verticalement vers le haut dans le référentiel terrestre, avec un axe (Ox) orienté vers le bas.
c) Généralisation : mouvement rectiligne quelconque
On considère un point M en mouvement rectiligne dans le référentiel R. Le mouvement
s’inscrit sur la droite fixe D.
Choix du repère Le repère choisi est identique au précédent ; la base de projection également. Le mouvement de M est entièrement paramétré par son abscisse x(t).
Équation horaire du mouvement Les vecteurs position, vitesse et accélération sont :
− − →
OM = x − → u x ; − → v = ˙
x − → u x ; − → a = ¨
x − → u x .
L’accélération − → a = ¨
x − → u x est une fonction du temps que l’on intègre pour obtenir ˙
x :
ˆ t
0
¨
xdt = [˙ x]
t
0 = ˙
x(t) − ˙
x(t = 0)
= ⇒
˙
x(t) = ˙
x(t = 0) +
ˆ t
0
¨
xdt.
On déduit alors x par intégration de ˙
x par rapport au temps :
ˆ t
0
˙
xdt = [x]
t
0 = x(t) − x (t=0)
=⇒
x(t) = x(t = 0) +
ˆ t
0
˙
xdt.
On voit apparaître deux constantes d’intégration :
481
L’intégration de l’équation ˙
x = a 0 t + v 0 donne l’équation horaire du mouvement :
x = a 0
t 2
2
+ v 0 t + x 0 .
Dans cette équation, x 0 est une constante d’intégration qui s’interprète comme la position sur
l’axe (Ox) du point M à l’instant t = 0 puisque x(t = 0) = x 0 .
Bilan pour un mouvement rectiligne uniformément varié d’axe (Ox)
− → a = a 0
− → u x ; −
→ v = (a 0 t + v 0 ) − → u x ;
− − →
OM =
a 0
t 2
2
+ v 0 t + x 0
− → u x .
Selon les signes de v 0 et a 0 , donc selon les orientations de − → v 0 et − → a 0 , on a deux types de
mouvements possibles :
• si v 0 > 0 et a 0 > 0, le vecteur vitesse initiale et le vecteur accélération sont de même sens.
La norme de la vitesse est une fonction affine croissante du temps. Les équations horaires
décrivent un mouvement rectiligne et uniformément accéléré. Cette situation correspond
à un mobile que l’on lance verticalement vers le bas dans le référentiel terrestre, avec un
axe (Ox) orienté vers le bas.
• si v 0 < 0 et a 0 > 0, le vecteur vitesse initiale et le vecteur accélération sont de sens opposés.
Le mouvement se déroule en deux phases : la norme de la vitesse commence par diminuer
(le mouvement est alors uniformément décéléré), s’annule (le mobile atteint un point extrême), puis recommence à augmenter (le mobile a rebroussé chemin et suit un mouvement
rectiligne et uniformément accéléré). Cette situation correspond à un mobile que l’on lance
verticalement vers le haut dans le référentiel terrestre, avec un axe (Ox) orienté vers le bas.
c) Généralisation : mouvement rectiligne quelconque
On considère un point M en mouvement rectiligne dans le référentiel R. Le mouvement
s’inscrit sur la droite fixe D.
Choix du repère Le repère choisi est identique au précédent ; la base de projection également. Le mouvement de M est entièrement paramétré par son abscisse x(t).
Équation horaire du mouvement Les vecteurs position, vitesse et accélération sont :
− − →
OM = x − → u x ; − → v = ˙
x − → u x ; − → a = ¨
x − → u x .
L’accélération − → a = ¨
x − → u x est une fonction du temps que l’on intègre pour obtenir ˙
x :
ˆ t
0
¨
xdt = [˙ x]
t
0 = ˙
x(t) − ˙
x(t = 0)
= ⇒
˙
x(t) = ˙
x(t = 0) +
ˆ t
0
¨
xdt.
On déduit alors x par intégration de ˙
x par rapport au temps :
ˆ t
0
˙
xdt = [x]
t
0 = x(t) − x (t=0)
=⇒
x(t) = x(t = 0) +
ˆ t
0
˙
xdt.
On voit apparaître deux constantes d’intégration :
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