EXEMPLES DE MOUVEMENTS ÉTUDIÉS EN COORDONNÉES CARTÉSIENNES
Remarque
Le rayon d’un cercle est une distance donc une grandeur positive. sin θ doit donc garder
des valeurs positives. Pour cela, en coordonnées sphériques, θ varie dans l’intervalle
[0, π]. Par suite, pour décrire l’ensemble de l’espace, ϕ varie sur [0, 2π[.
L’orientation de l’angle θ et le choix du vecteur − →
u θ sont liés. − →
u θ est dirigé dans le sens où θ
augmente. De même, l’orientation de ϕ et le choix du vecteur − →
u ϕ sont liés. − →
u ϕ est dirigé dans
le sens où ϕ augmente.
!
d) Vecteur vitesse
Le vecteur vitesse est égal au rapport du vecteur déplacement élémentaire à la durée élémentaire dt de ce déplacement :
− → v (t) =
d
− − →
OM
dt
=
dr
dt
− → u r + r
dθ
dt
− →
u θ + r sin θ
dϕ
dt
− →
u ϕ .
On obtient alors l’expression du vecteur vitesse :
− → v (t) = ˙
r − → u r + r ˙
θ − →
u θ + r sin θ ˙
ϕ − →
u ϕ .
6 Exemples de mouvements étudiés en coordonnées cartésiennes
6.1 Mouvements rectilignes
a) Mouvement rectiligne et uniforme
Exemple
Un train se déplaçant à vitesse constante sur des rails rectilignes suit un mouvement
rectiligne et uniforme par rapport au sol.
On considère un point M en mouvement rectiligne et uniforme de vecteur vitesse − → v 0 constant
dans le référentiel R. Le mouvement s’inscrit sur un droite fixe D qui contient forcément − → v 0 .
Choix du repère Le mouvement de M est rectiligne. On repère M sur une droite comme
décrit au paragraphe 2.2. On choisit l’origine O du repère sur la droite D et le vecteur unitaire
− → u x sur cette droite. En général, on s’arrange pour que − → u x soit dans le sens de − → v 0 et on projette
tous les vecteurs du problème sur − → u x . Le mouvement de M est entièrement paramétré par son
abscisse x(t) que l’on doit rechercher. C’est l’équation horaire du mouvement.
Équation horaire du mouvement Les vecteurs position, vitesse et accélération sont a priori
de la forme :
− − →
OM = x − → u x ; − → v = ˙
x − → u x ; − → a = ¨
x − → u x .
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Remarque
Le rayon d’un cercle est une distance donc une grandeur positive. sin θ doit donc garder
des valeurs positives. Pour cela, en coordonnées sphériques, θ varie dans l’intervalle
[0, π]. Par suite, pour décrire l’ensemble de l’espace, ϕ varie sur [0, 2π[.
L’orientation de l’angle θ et le choix du vecteur − →
u θ sont liés. − →
u θ est dirigé dans le sens où θ
augmente. De même, l’orientation de ϕ et le choix du vecteur − →
u ϕ sont liés. − →
u ϕ est dirigé dans
le sens où ϕ augmente.
!
d) Vecteur vitesse
Le vecteur vitesse est égal au rapport du vecteur déplacement élémentaire à la durée élémentaire dt de ce déplacement :
− → v (t) =
d
− − →
OM
dt
=
dr
dt
− → u r + r
dθ
dt
− →
u θ + r sin θ
dϕ
dt
− →
u ϕ .
On obtient alors l’expression du vecteur vitesse :
− → v (t) = ˙
r − → u r + r ˙
θ − →
u θ + r sin θ ˙
ϕ − →
u ϕ .
6 Exemples de mouvements étudiés en coordonnées cartésiennes
6.1 Mouvements rectilignes
a) Mouvement rectiligne et uniforme
Exemple
Un train se déplaçant à vitesse constante sur des rails rectilignes suit un mouvement
rectiligne et uniforme par rapport au sol.
On considère un point M en mouvement rectiligne et uniforme de vecteur vitesse − → v 0 constant
dans le référentiel R. Le mouvement s’inscrit sur un droite fixe D qui contient forcément − → v 0 .
Choix du repère Le mouvement de M est rectiligne. On repère M sur une droite comme
décrit au paragraphe 2.2. On choisit l’origine O du repère sur la droite D et le vecteur unitaire
− → u x sur cette droite. En général, on s’arrange pour que − → u x soit dans le sens de − → v 0 et on projette
tous les vecteurs du problème sur − → u x . Le mouvement de M est entièrement paramétré par son
abscisse x(t) que l’on doit rechercher. C’est l’équation horaire du mouvement.
Équation horaire du mouvement Les vecteurs position, vitesse et accélération sont a priori
de la forme :
− − →
OM = x − → u x ; − → v = ˙
x − → u x ; − → a = ¨
x − → u x .
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