CHAPITRE 13 – CINÉMATIQUE DU POINT
Lorsque θ varie de dθ à r et ϕ fixés, le déplacement a lieu selon − →
u θ et vaut :
d
− − →
OM = rdθ − →
u θ .
Lorsque ϕ varie de dϕ, à r et θ fixés, le déplacement a lieu sur le parallèle passant par M de
rayon r sin θ et de centre M V . Il se fait selon le vecteur − →
u ϕ et vaut :
d
− − →
OM = r sin θ dϕ − →
u ϕ .
•
O
r
•
M dr − → u r
•
M
r sin θ
•
M V
θ
z
− → u
− → u z − → u r
− →
u θ
•
O
r
•
M
•
M
r sin θ
•
M V
rdθ − →
u θ
θ
dθ
z
− → u
− → u z − → u r
− →
u θ
Figure 13.24 – Déplacement de M sur le plan méridien contenant M à ϕ fixé. Dans
ce plan, M est repéré en coordonnées polaires. À gauche, r varie à θ et ϕ fixés ; à
droite, θ varie à r et ϕ fixés.
•
M V
r sin θ
•
M
•
M
ϕ
dϕ
r sin θ dϕ − →
u ϕ
x
y
− → u x
− → u y
− → u
− →
u ϕ
Figure 13.25 – Déplacement de M à r et θ fixés. Le déplacement a lieu sur le
parallèle passant par M de rayon M V M = r sin θ , où M V est la projection orthogonale
de M sur l’axe (Oz).
Les coordonnées r, θ et ϕ étant indépendantes et la base ( − → u r , − →
u θ , − →
u ϕ ) orthonormée, on trouve
le déplacement élémentaire dans le cas général où r, θ et ϕ varient simultanément en sommant ces trois expressions :
d
− − →
OM = dr − → u r + rdθ − →
u θ + r sin θ dϕ − →
u ϕ .
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