UTILISATION DES DIFFÉRENTS SYSTÈMES DE COORDONNÉES
5.3 Coordonnées sphériques
a) Coordonnées sphériques
Le point M est repéré dans son mouvement à trois dimensions par ses coordonnées sphériques. On se place dans le référentiel R lié au repère d’espace fixe (Oxyz). On utilise la
base de projection ( − → u r , − →
u θ , − →
u ϕ ) mobile dans R. L’expression de l’accélération est difficile à
obtenir dans cette base et on se contentera ici d’exprimer les vecteurs position, déplacement
élémentaire et vitesse du point M.
b) Vecteur position
L’expression du vecteur position a été déterminée précédemment pour un point M(r, θ , ϕ).
Le point M se déplace au cours du temps donc ses coordonnées r, θ et ϕ sont des fonctions
du temps. Le vecteur position s’écrit :
− − →
OM = r(t) − → u r (t).
Le fait que θ et ϕ dépendent de temps implique que le vecteur − → u r dépend du temps.
c) Déplacement élémentaire
On considère un point situé en M de coordonnées sphériques (r, θ , ϕ) à l’instant t et qui arrive
en un point M tel que
−−→
MM = d
− − →
OM de coordonnées (r + dr, θ + dθ , ϕ + dϕ) à l’instant t + dt.
On note M V la projection de M sur l’axe « vertical » (Oz).
O
x
− → u x
y
− → u y
z
− → u z
r
dr
•
M V
ϕ
θ
dθ
dϕ
M •
M
•
•
Figure 13.23 – Déplacement élémentaire en coordonnées sphériques.
Un déplacement à ϕ fixé correspond à un déplacement dans le plan méridien tandis qu’un
déplacement à r et θ fixés correspond à un déplacement sur le parallèle passant par M.
Lorsque r varie de dr à θ et ϕ fixés, le déplacement a lieu selon − → u r et vaut :
d
− − →
OM = dr − → u r .
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