CHAPITRE 13 – CINÉMATIQUE DU POINT
obtient alors :
− − →
OM =
− −− →
OM H +
− −− →
M H M.
Le point M H est repéré en coordonnées polaires dans le plan (Oxy). Le point M est repéré sur
l’axe orienté (M H , − → u z ) par sa coordonnée z. On obtient alors les caractéristiques du mouvement de M par sommation des mouvements de M H dans le plan (Oxy) et de M sur la droite
(M H , − → u z ).
x
y
z
− → u x
− → u y
− → u z
rdθ − →
u θ
θ
dθ
•
O
•
M
•
M
•
M H
•
M
H
•
z
•
z + dz
r
dr − → u r
dz
dr
rdθ
Figure 13.22 – Déplacement élémentaire en coordonnées cylindriques. M est tel que
−−→
MM = d
− − →
OM. Le déplacement de M est la somme du déplacement de M H dans le
plan (Oxy) repéré en polaire et du déplacement de M par rapport à M H selon l’axe
(M H , − → u z ).
g) Bilan en repérage cylindro-polaire
Les vecteurs position, déplacement élémentaire, vitesse et accélération en coordonnées
polaires exprimés sur la base mobile ( − → u r , − →
u θ , − → u z ) sont respectivement
− − →
OM =
⎛
⎝
r
0
z
⎞
⎠ ; d
− − →
OM =
⎛
⎝
dr
rdθ
dz
⎞
⎠ ; − → v =
⎛
⎝
˙
r
r ˙
θ
˙
z
⎞
⎠ ; − → a =
⎛
⎝
¨
r − r ˙
θ 2
2˙ r ˙
θ + r ¨
θ
¨
z
⎞
⎠ .
Par ailleurs, il faut retenir que
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
d − → u r
dt
= ˙
θ − →
u θ
d − →
u θ
dt
= − ˙
θ −
→ u r .
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