UTILISATION DES DIFFÉRENTS SYSTÈMES DE COORDONNÉES
Remarque
Il est conseillé de réaliser ces figures avec 0 < θ < 90 ◦ et θ nettement inférieur à 45 ◦
afin de distinguer nettement que cos θ > sin θ > 0. On peut alors vérifier que l’on ne
s’est pas trompé ni sur les signes, ni sur le choix entre sin θ et cos θ .
Dérivation des vecteurs de la base mobile Lorsque le point M se déplace au cours du
temps, r et θ varient. On voit sur la figure 13.20 qu’une variation de r ne fait pas bouger
la base mobile, tandis qu’une variation de θ fait tourner la base mobile d’un angle dθ . Cette
dépendance en θ de − → u r et − →
u θ se voit également dans leurs expressions dans la base cartésienne
exprimées ci-dessus.
Dans un premier temps, on dérive − → u r et − →
u θ par rapport à θ :
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
d − → u r
dθ
= − sin θ −
→ u x + cosθ −
→ u y = − →
u θ
d − →
u θ
dθ
= − cos θ −
→ u x − sin θ −
→ u y = − − → u r
⇐⇒
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
d − → u r = dθ − →
u θ
d − →
u θ = −dθ −
→ u r .
On en déduit leurs dérivées par rapport au temps, qu’il faut absolument connaître :
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
d − → u r
dt
= ˙
θ − →
u θ
d − →
u θ
dt
= − ˙
θ −
→ u r .
Remarque
On retrouve bien
d − → u r
dt
= ˙
θ − →
u θ que l’on avait conjecturé précédemment.
Calcul du vecteur accélération Il ne reste plus qu’à dériver le vecteur vitesse terme à terme
pour trouver le vecteur accélération :
− → a (t) =
d − → v
dt
=
d
˙
r − → u r + r ˙
θ − →
u θ
dt
=
d˙ r
dt
− → u r + ˙
r
d − → u r
dt
+
dr
dt
˙
θ − →
u θ + r
d ˙
θ
dt
− →
u θ + r ˙
θ
d − →
u θ
dt
= ¨
r − → u r + ˙
r( ˙
θ − →
u θ ) + ˙
r ˙
θ − →
u θ + r ¨
θ − →
u θ + r ˙
θ (− ˙
θ −
→ u r ).
Finalement :
− → a (t) = (¨ r − r ˙
θ
2
) − → u r + (2˙ r ˙
θ + r ¨
θ ) − →
u θ .
f) Généralisation : mouvement à trois dimensions en coordonnées cylindriques
On peut généraliser l’analyse du mouvement pour un point M se déplaçant dans l’espace à
trois dimensions en introduisant le point M H , projeté orthogonal de M sur le plan (Oxy). On
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Remarque
Il est conseillé de réaliser ces figures avec 0 < θ < 90 ◦ et θ nettement inférieur à 45 ◦
afin de distinguer nettement que cos θ > sin θ > 0. On peut alors vérifier que l’on ne
s’est pas trompé ni sur les signes, ni sur le choix entre sin θ et cos θ .
Dérivation des vecteurs de la base mobile Lorsque le point M se déplace au cours du
temps, r et θ varient. On voit sur la figure 13.20 qu’une variation de r ne fait pas bouger
la base mobile, tandis qu’une variation de θ fait tourner la base mobile d’un angle dθ . Cette
dépendance en θ de − → u r et − →
u θ se voit également dans leurs expressions dans la base cartésienne
exprimées ci-dessus.
Dans un premier temps, on dérive − → u r et − →
u θ par rapport à θ :
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
d − → u r
dθ
= − sin θ −
→ u x + cosθ −
→ u y = − →
u θ
d − →
u θ
dθ
= − cos θ −
→ u x − sin θ −
→ u y = − − → u r
⇐⇒
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
d − → u r = dθ − →
u θ
d − →
u θ = −dθ −
→ u r .
On en déduit leurs dérivées par rapport au temps, qu’il faut absolument connaître :
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
d − → u r
dt
= ˙
θ − →
u θ
d − →
u θ
dt
= − ˙
θ −
→ u r .
Remarque
On retrouve bien
d − → u r
dt
= ˙
θ − →
u θ que l’on avait conjecturé précédemment.
Calcul du vecteur accélération Il ne reste plus qu’à dériver le vecteur vitesse terme à terme
pour trouver le vecteur accélération :
− → a (t) =
d − → v
dt
=
d
˙
r − → u r + r ˙
θ − →
u θ
dt
=
d˙ r
dt
− → u r + ˙
r
d − → u r
dt
+
dr
dt
˙
θ − →
u θ + r
d ˙
θ
dt
− →
u θ + r ˙
θ
d − →
u θ
dt
= ¨
r − → u r + ˙
r( ˙
θ − →
u θ ) + ˙
r ˙
θ − →
u θ + r ¨
θ − →
u θ + r ˙
θ (− ˙
θ −
→ u r ).
Finalement :
− → a (t) = (¨ r − r ˙
θ
2
) − → u r + (2˙ r ˙
θ + r ¨
θ ) − →
u θ .
f) Généralisation : mouvement à trois dimensions en coordonnées cylindriques
On peut généraliser l’analyse du mouvement pour un point M se déplaçant dans l’espace à
trois dimensions en introduisant le point M H , projeté orthogonal de M sur le plan (Oxy). On
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