CHAPITRE 13 – CINÉMATIQUE DU POINT
− → v (t) =
d
− − →
OM
dt
=
dr
dt
− → u r + r
dθ
dt
− →
u θ .
On obtient alors l’expression du vecteur vitesse :
− → v (t) = ˙
r − → u r + r ˙
θ − →
u θ .
Remarque
On peut également trouver le vecteur vitesse en dérivant le vecteur position par rapport
au temps :
− → v (t) =
d
− − →
OM
dt
=
d (r(t) − → u r (t))
dt
=
dr
dt
− → u r + r
d − → u r
dt
.
On peut alors conjecturer que la dérivée de − → u r par rapport au temps vaut
d − → u r
dt
= ˙
θ − →
u θ .
C’est ce que nous allons démontrer dans le paragraphe suivant.
e) Vecteur accélération
Pour trouver le vecteur accélération, on ne peut plus utiliser de méthode géométrique simple.
On va donc dériver le vecteur vitesse par rapport au temps. Pour cela, on doit établir les
expression des dérivées temporelles de − → u r et de − →
u θ .
Expression des vecteurs de la base mobile dans la base fixe On peut passer de la base
de projection mobile à la base de projection fixe grâce aux figures de projection suivantes :
•
− → u r
cos θ
sin θ
θ
− → u x
− → u y
•
− →
u θ
cos θ
− sin θ
θ
− → u x
− → u y
Figure 13.21 – Figures de projection des vecteurs de la base mobile dans la base
cartésienne fixe.
Cela permet de trouver l’expression des vecteurs − → u r et − →
u θ dans la base fixe ( − → u x , − → u y ) :
− → u r = cos θ −
→ u x + sin θ −
→ u y
− →
u θ = − sin θ −
→ u x + cosθ −
→ u y .
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