UTILISATION DES DIFFÉRENTS SYSTÈMES DE COORDONNÉES
b) Vecteur position
L’expression du vecteur position a été déterminée précédemment pour un point M(r, θ ). Le
point M se déplace au cours du temps donc ses coordonnées r et θ sont maintenant des
fonctions du temps. Le vecteur position s’écrit :
− − →
OM = r(t) − → u r (t).
Une nouveauté intervient en coordonnées polaires : le vecteur − → u r suit le point M au cours de
son mouvement et évolue au cours du temps. − → u r est donc une fonction du temps.
!
c) Déplacement élémentaire
•
M •
M
θ
dr − → u r
x
y
•
O
− → u x
− → u y
− → u r
− →
u θ
•
M
•
M
θ
dθ
rdθ − →
u θ
x
y
•
O
− → u x
− → u y
− → u r
− →
u θ
Figure 13.20 – Déplacement élémentaire en coordonnées polaires. M est tel que
−−→
MM = d
− − →
OM. À gauche, r varie à θ fixé ; à droite, θ varie à r fixé.
Lorsque r varie de dr à θ fixé, le déplacement a lieu selon le vecteur − → u r et vaut : d
− − →
OM = dr − → u r .
Lorsque θ varie de dθ à r fixé, le déplacement a lieu selon − →
u θ et vaut : d
− − →
OM = rdθ − →
u θ .
Les coordonnées r et θ étant indépendantes et la base ( − → u r , − →
u θ ) orthonormée, on trouve le
déplacement élémentaire dans le cas général où r et θ varient simultanément en sommant ces
deux expressions :
d
− − →
OM = dr − → u r + rdθ − →
u θ .
L’orientation de l’angle θ et le choix du vecteur de base − →
u θ sont liés. − →
u θ est dirigé dans le sens
où θ augmente. Il faut toujours le vérifier sur son schéma. Une erreur d’orientation entraîne
automatiquement des erreurs de signe.
!
d) Vecteur vitesse
Le vecteur vitesse est égal au rapport du vecteur déplacement élémentaire à la durée élémentaire dt de ce déplacement :
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