CHAPITRE 13 – CINÉMATIQUE DU POINT
f) Généralisation : mouvement dans l’espace repéré en cartésien
On peut généraliser l’analyse du mouvement pour un point M se déplaçant dans l’espace à
trois dimensions en introduisant le point M H , projeté orthogonal de M sur le plan (Oxy). On
obtient alors :
− − →
OM =
− −− →
OM H +
− −− →
M H M.
Le point M H est repéré en coordonnées cartésiennes dans le plan (Oxy). Le point M est
repéré sur l’axe orienté (M H , − → u z ) par sa coordonnée z. On obtient alors les caractéristiques
des mouvements de M par sommation des mouvement de M H dans le plan (Oxy) et de M sur
la droite (M H , − → u z ).
x
y
z
− → u x
− → u y
− → u z
O •
•
M
•
M
•
M H
dz
dx
dy
x
y
z
Figure 13.19 – Déplacement élémentaire en coordonnées cartésiennes. M est tel
que
−−→
MM = d
− − →
OM.
g) Bilan en repérage cartésien
Les vecteurs position, déplacement élémentaire, vitesse et accélération en coordonnées
cartésiennes exprimés sur la base ( − → u x , − → u y , − → u z ) sont respectivement :
− − →
OM =
⎛
⎝
x
y
z
⎞
⎠ ; d
− − →
OM =
⎛
⎝
dx
dy
dz
⎞
⎠ ; − → v =
⎛
⎝
˙
x
˙
y
˙
z
⎞
⎠ ; − → a =
⎛
⎝
¨
x
¨
y
¨
z
⎞
⎠ .
5.2 Coordonnées cylindro-polaire
a) Coordonnées polaires
Dans un premier temps, on fait l’hypothèse que le mouvement s’inscrit sur le plan (Oxy). On
se place dans le référentiel R lié au repère d’espace fixe (Oxy). On utilise la base de projection
( − → u r , − →
u θ ) mobile dans R pour exprimer les vecteurs position, déplacement élémentaire, vitesse
et accélération du point M.
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