UTILISATION DES DIFFÉRENTS SYSTÈMES DE COORDONNÉES
c) Déplacement élémentaire
•
M
•
M
y
x x + dx
dx − → u x
x
y
•
O − → u x
− → u y
•
M
•
M
y
x
y + dy
dy − → u y
x
y
•
O − → u x
− → u y
Figure 13.18 – Déplacement élémentaire en coordonnées cartésiennes. M est tel
que
−−→
MM = d
− − →
OM. À gauche, x varie à y fixé ; à droite, y varie à x fixé.
Lorsque x varie de dx à y fixé, le déplacement a lieu selon le vecteur −
→ u x et vaut d
− − →
OM = dx − → u x .
Lorsque y varie de dy à x fixé, le déplacement a lieu selon le vecteur − → u y et vaut d
− − →
OM = dy − → u y .
Les coordonnées x et y étant indépendantes et la base ( − → u x , − → u y ) orthonormée, on trouve le
déplacement élémentaire dans le cas général où x et y varient simultanément en sommant ces
deux expressions :
d
− − →
OM = dx − → u x + dy − → u y .
d) Vecteur vitesse
Le vecteur vitesse est égal au rapport du vecteur déplacement élémentaire à la durée élémentaire dt de ce déplacement :
− → v (t) =
d
− − →
OM
dt
=
dx
dt
− → u x +
dy
dt
− → u y .
En notant ˙
x le rapport
dx
dt
qui est également la dérivée temporelle de x, et ˙
y =
dy
dt
, on obtient
l’expression de la vitesse :
− → v (t) = ˙
x − → u x + ˙
y − → u y .
Remarque
Cela revient à dériver le vecteur position terme à terme, en utilisant le fait que les
vecteurs de la base ( − → u x , − → u y ) sont fixes donc indépendant du temps.
e) Vecteur accélération
On continue alors la dérivation terme à terme de la vitesse pour trouver le vecteur accélération :
− → a (t) =
d − → v
dt
= ¨
x − → u x + ¨
y − → u y .
471