CINÉMATIQUE DU POINT
•
M(t)
•
M(t + dt)
• M(t + Δt)
Δ
− − →
OM
d
− − →
OM = − → v dt
Figure 13.17 – Vecteurs déplacement et déplacement infinitésimal sur une trajectoire
tracée en gris et décrite dans le sens de la flèche. Lorsque la durée Δt du déplacement
devient infinitésimale et égale à dt, le déplacement Δ
− − →
OM devient infinitésimal et égal à
d
− − →
OM, tangent en M(t) à la trajectoire.
d) Vecteur vitesse
Le vecteur vitesse moyenne entre l’instant t et l’instant t + Δt est défini par le rapport
du vecteur déplacement à la durée de ce déplacement :
< − → v >=
Δ
− − →
OM
Δt
.
Lorsque l’intervalle de temps devient infinitésimal, ce rapport devient le vecteur vitesse
instantanée :
− → v (t) =
d
− − →
OM
dt
.
C’est la dérivée du vecteur position
− − →
OM. La norme de ces vitesses se mesure en m·s −1 .
e) Lien entre le déplacement élémentaire et la vitesse
La dérivée temporelle, en physique comme en mathématique, est la limite du taux de variation
lorsque l’intervalle de temps entre deux mesures devient très petit. L’intervalle de temps dt
et le déplacement élémentaire d
− − →
OM ont un sens et une existence propre en physique. Ils
correspondent à la notion de différentielle en mathématique.
Le vecteur déplacement élémentaire est la différentielle du vecteur position et s’exprime en
fonction de la vitesse de la manière suivante :
d
− − →
OM =
− − →
OM(t + dt) −
− − →
OM(t) =
− −−−−−−−−→
M(t)M(t + dt) = − → v dt.
La vitesse est colinéaire au déplacement élémentaire. Comme lui, elle est parallèle à la trajectoire.
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