CHAPITRE 13 – CINÉMATIQUE DU POINT
x
y
z
O
N
S
M
parallèle
méridien
Figure 13.13 – Quadrillage d’une sphère de rayon OM en coordonnées sphériques.
Les méridiens sont tracés tous les 30 ◦ de longitude. Les parallèles tracés ont pour des
latitudes ±15 ◦ , ±45 ◦ , ±75 ◦ . Le point M a pour coordonnées 60 ◦ de longitude et 45 ◦
de latitude.
Système de coordonnées : repérage d’un point de l’espace En général, on utilise le
méridien du plan (Oxz) des coordonnées cartésiennes comme référence des longitudes ϕ. On
délaisse la latitude λ au profit de la co-latitude θ =
π
2
− λ .
Le point M est repéré par ses coordonnées sphériques r, θ et ϕ où :
• r est la distance OM. C’est la norme du vecteur
− − →
OM : r = ||
− − →
OM|| ;
• la longitude ϕ permet de repérer le plan méridien. C’est l’angle orienté que fait le plan
méridien passant par M avec le plan méridien (Oxz) pris comme référence des longitudes ;
• la co-latitude θ permet de repérer le point M dans le plan méridien. C’est l’angle orienté
que fait le vecteur
− − →
OM avec le vecteur − → u z .
Un point M de coordonnées sphériques r, θ et ϕ est noté M(r, θ , ϕ) et il faut noter que :
• par définition, r étant une distance, elle est à valeur positive
• pour décrire l’intégralité de l’espace, θ doit varier sur l’intervalle [0; π] et ϕ sur l’intervalle
[0; 2π[.
Il faut veiller à toujours prendre θ ∈ [0; π] et ϕ ∈ [0; 2π[. On justifiera ce choix plus tard mais
il faut dès à présent en avoir conscience pour éviter des problèmes de signe.
!
Base de projection : repérage d’un vecteur On définit la base mobile ( − → u r , − →
u θ , − →
u ϕ ) orthonormée directe adaptée aux coordonnées sphériques de la manière suivante :
• − → u r est un vecteur unitaire dont la direction et le sens sont ceux de
− − →
OM : − → u r =
− − →
OM
||
− − →
OM||
;
• − →
u θ un vecteur unitaire du plan méridien orthogonal à − → u r donc tangent au méridien passant
par M et dirigé dans le sens où θ augmente ;
• − →
u ϕ un vecteur unitaire tel que la base ( − → u r , − →
u θ , − →
u ϕ ) soit orthonormée directe. − →
u ϕ est perpendiculaire au plan méridien. Il est tangent au parallèle passant par M.
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x
y
z
O
N
S
M
parallèle
méridien
Figure 13.13 – Quadrillage d’une sphère de rayon OM en coordonnées sphériques.
Les méridiens sont tracés tous les 30 ◦ de longitude. Les parallèles tracés ont pour des
latitudes ±15 ◦ , ±45 ◦ , ±75 ◦ . Le point M a pour coordonnées 60 ◦ de longitude et 45 ◦
de latitude.
Système de coordonnées : repérage d’un point de l’espace En général, on utilise le
méridien du plan (Oxz) des coordonnées cartésiennes comme référence des longitudes ϕ. On
délaisse la latitude λ au profit de la co-latitude θ =
π
2
− λ .
Le point M est repéré par ses coordonnées sphériques r, θ et ϕ où :
• r est la distance OM. C’est la norme du vecteur
− − →
OM : r = ||
− − →
OM|| ;
• la longitude ϕ permet de repérer le plan méridien. C’est l’angle orienté que fait le plan
méridien passant par M avec le plan méridien (Oxz) pris comme référence des longitudes ;
• la co-latitude θ permet de repérer le point M dans le plan méridien. C’est l’angle orienté
que fait le vecteur
− − →
OM avec le vecteur − → u z .
Un point M de coordonnées sphériques r, θ et ϕ est noté M(r, θ , ϕ) et il faut noter que :
• par définition, r étant une distance, elle est à valeur positive
• pour décrire l’intégralité de l’espace, θ doit varier sur l’intervalle [0; π] et ϕ sur l’intervalle
[0; 2π[.
Il faut veiller à toujours prendre θ ∈ [0; π] et ϕ ∈ [0; 2π[. On justifiera ce choix plus tard mais
il faut dès à présent en avoir conscience pour éviter des problèmes de signe.
!
Base de projection : repérage d’un vecteur On définit la base mobile ( − → u r , − →
u θ , − →
u ϕ ) orthonormée directe adaptée aux coordonnées sphériques de la manière suivante :
• − → u r est un vecteur unitaire dont la direction et le sens sont ceux de
− − →
OM : − → u r =
− − →
OM
||
− − →
OM||
;
• − →
u θ un vecteur unitaire du plan méridien orthogonal à − → u r donc tangent au méridien passant
par M et dirigé dans le sens où θ augmente ;
• − →
u ϕ un vecteur unitaire tel que la base ( − → u r , − →
u θ , − →
u ϕ ) soit orthonormée directe. − →
u ϕ est perpendiculaire au plan méridien. Il est tangent au parallèle passant par M.
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