REPÉRAGE D’UN POINT DANS L’ESPACE
O
x
− → u x
y
− → u y
z
− → u z
r
ϕ
θ
M •
− →
u θ
− →
u ϕ
− → u r
Figure 13.14 – Repérage d’un point M en coordonnées sphériques.
Un point M de l’espace de coordonnées sphériques r, θ et ϕ est noté M(r, θ , ϕ). Le
vecteur position s’écrit :
− − →
OM = r − → u r ,
où r est la distance OM.
La base de projection ( − → u r , − →
u θ , − →
u ϕ ) est définie pour une position donnée du point M. Elle est
définie localement en tout point M et tourne pour que le vecteur − → u r pointe toujours de O vers
M. Pour un point M donné, le triplet ( − → u r , − →
u θ , − →
u ϕ ) forme une base mobile de l’espace. Tout
vecteur − → w de l’espace peut s’écrire sous la forme :
− → w = w r
− → u r + w θ
− →
u θ + w ϕ
− →
u ϕ noté − → w =
⎛
⎝
w r
w θ
w ϕ
⎞
⎠ .
w r est la composante du vecteur − → w sur − → u r appelée composante radiale. Les autres composantes n’ont pas de dénominations particulières.
w r , w θ et w ϕ sont les projections orthogonales de − → w sur les vecteurs − → u r , − →
u θ et − →
u ϕ . En particulier, le vecteur position
− − →
OM = r − → u r s’écrit :
− − →
OM =
⎛
⎝
r
0
0
⎞
⎠ .
Encore une fois en coordonnées sphériques, il ne faut pas confondre les coordonnées du
point M et les composantes du vecteur position.
!
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