Exercices Corrigés
CHAPITRE 1 – OSCILLATEUR HARMONIQUE
L’accélération instantanée est
d 2 x
dt 2 = −4π 2 f 2 A cos(2π f t + ϕ). La valeur maximale de l’accélération est : a max = 4π
2 f
2 A = 3,8.10
3 m·s
−2 .
1.4 Énergie de l’oscillateur harmonique
1. Il suffit de dériver par rapport au temps la relation :
1
2
mω
2
0 x(t)
2
+
1
2
m
dx
dt
2
= E m =
constante. Il vient : mω 2
0 x(t)
dx
dt
+ m
dx
dt
d 2 x
dt 2 = 0, puis après simplification par
dx
dt
et division
par m on obtient :
d
2 x
dt 2 + ω 2
0 x(t) = 0.
2. x(t) = A cos(ω 0 t + ϕ) donc
dx
dt
= −ω 0 A sin(ω 0 t + ϕ). Il vient donc :
E c (t) =
1
2
mω
2
0 A
2 sin
2
(ω 0 t + ϕ) =
1
4
mω
2
0 A
2
(1 − cos(2ω 0 t + 2ϕ)),
et
E p (t) =
1
2
mω
2
0 A
2 cos
2
(ω 0 t + ϕ) =
1
4
mω
2
0 A
2
(1 + cos(2ω 0 t + 2ϕ)).
Il apparaît clairement que E c (t) + E p (t) =
1
2
mω 2
0 A 2 .
3. L’évolution dans le temps des énergies cinétique et potentielle est représentée sur la figure
ci-contre dans le cas où v 0 = 0 : E c (t) en noir et
E p (t) en gris. L’énergie cinétique et l’énergie
potentielle oscillent au cours du temps, avec
une pulsation 2ω 0 donc une période deux fois
plus petite que la période T 0 =
2π
ω 0
de l’oscillateur. Chacune des deux vaut en moyenne
E m
2
. Il y a un échange continuel entre ces deux
formes d’énergie.
0
0
t
T 0
T 0
2
E m
1.5 Caractéristiques de signaux sinusoïdaux
1.
a. Amplitude : A = 15, période :T = 2,00.10
−3 s, fréquence : f = 50 Hz, phase initiale :
ϕ = 0,5 rad.
b. A = 5, T = 8,000.10 −7 s, f = 1,250 MHz, ϕ = −
π
2
.
c. A = 2, T = 1,67.10 −3 s, f = 60,0 Hz, ϕ = −
3π
4
rad.
d. A =
√
15 2 + 5 2 = 15, 8, T = 1,0.10 −3 s, f = 1,0.10
3 Hz, ϕ = arctan
5
15
= 0,32 rad.
2. Le signal s’écrit s(t) = A cos(ωt + ϕ). On sait que s(
T
4
) =
A
2
soit cos(
π
2
+ ϕ) =
1
2
, donc
π
2
+ ϕ = ± arccos(
1
2
) = ±
π
3
, soit ϕ = −
π
6
ou −
5π
6
.
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CHAPITRE 1 – OSCILLATEUR HARMONIQUE
L’accélération instantanée est
d 2 x
dt 2 = −4π 2 f 2 A cos(2π f t + ϕ). La valeur maximale de l’accélération est : a max = 4π
2 f
2 A = 3,8.10
3 m·s
−2 .
1.4 Énergie de l’oscillateur harmonique
1. Il suffit de dériver par rapport au temps la relation :
1
2
mω
2
0 x(t)
2
+
1
2
m
dx
dt
2
= E m =
constante. Il vient : mω 2
0 x(t)
dx
dt
+ m
dx
dt
d 2 x
dt 2 = 0, puis après simplification par
dx
dt
et division
par m on obtient :
d
2 x
dt 2 + ω 2
0 x(t) = 0.
2. x(t) = A cos(ω 0 t + ϕ) donc
dx
dt
= −ω 0 A sin(ω 0 t + ϕ). Il vient donc :
E c (t) =
1
2
mω
2
0 A
2 sin
2
(ω 0 t + ϕ) =
1
4
mω
2
0 A
2
(1 − cos(2ω 0 t + 2ϕ)),
et
E p (t) =
1
2
mω
2
0 A
2 cos
2
(ω 0 t + ϕ) =
1
4
mω
2
0 A
2
(1 + cos(2ω 0 t + 2ϕ)).
Il apparaît clairement que E c (t) + E p (t) =
1
2
mω 2
0 A 2 .
3. L’évolution dans le temps des énergies cinétique et potentielle est représentée sur la figure
ci-contre dans le cas où v 0 = 0 : E c (t) en noir et
E p (t) en gris. L’énergie cinétique et l’énergie
potentielle oscillent au cours du temps, avec
une pulsation 2ω 0 donc une période deux fois
plus petite que la période T 0 =
2π
ω 0
de l’oscillateur. Chacune des deux vaut en moyenne
E m
2
. Il y a un échange continuel entre ces deux
formes d’énergie.
0
0
t
T 0
T 0
2
E m
1.5 Caractéristiques de signaux sinusoïdaux
1.
a. Amplitude : A = 15, période :T = 2,00.10
−3 s, fréquence : f = 50 Hz, phase initiale :
ϕ = 0,5 rad.
b. A = 5, T = 8,000.10 −7 s, f = 1,250 MHz, ϕ = −
π
2
.
c. A = 2, T = 1,67.10 −3 s, f = 60,0 Hz, ϕ = −
3π
4
rad.
d. A =
√
15 2 + 5 2 = 15, 8, T = 1,0.10 −3 s, f = 1,0.10
3 Hz, ϕ = arctan
5
15
= 0,32 rad.
2. Le signal s’écrit s(t) = A cos(ωt + ϕ). On sait que s(
T
4
) =
A
2
soit cos(
π
2
+ ϕ) =
1
2
, donc
π
2
+ ϕ = ± arccos(
1
2
) = ±
π
3
, soit ϕ = −
π
6
ou −
5π
6
.
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