Exercices Corrigés
CORRIGÉS
CORRIGÉS
1.1 Reconnaître un oscillateur harmonique
1. A se mesure en s −2 . L’équation différentielle est celle d’un oscillateur harmonique de
pulsation ω =
√
A donc de fréquence f =
ω
2π
=
√
A
2π
= 32,77 kHz.
2.
a. L’énergie mécanique est la somme de l’énergie cinétique E c =
1
2
m e
dz
dt
2
et de
l’énergie potentielle donnée, soit : E m =
1
2
m e
dz
dt
2
+
1
2
|qV 0 |
d 2 z 2 , car qV 0 = (−q)(−V 0 ) =
|qV 0 |.
b. L’énergie mécanique étant conservée,
dE m
dt
= m e
d 2 z
dt 2
dz
dt
+
|qV 0 |
d 2
dz
dt
z(t) = 0, soit après
simplification par
dz
dt
et division par m :
d 2 z
dt 2 +
|qV 0 |
m e d 2 z(t) = 0.
On reconnaît l’équation d’un oscillateur harmonique de pulsation ω =
|qV 0 |
m e d 2 et donc de
fréquence f =
1
2π
|qV 0 |
m e d 2 = 25.10 6 Hz = 25 MHz.
1.2 Mouvement sinusoïdal
1. Le mobile passe par sa position d’équilibre avec une vitesse dans le sens positif à t 1 .
D’après la figure 1.3 du cours la phase du signal x(t) à t = t 1 est ϕ = −
π
2
. La loi horaire du
mouvement est donc : x(t) = A cos
ω(t − t 1 ) −
π
2
= A sin(ω(t − t 1 )).
2. A l’instant t 2 , x(t 2 ) =
A
2
, donc sin(ω(t 2 − t 1 )) =
1
2
, soit ω(t 2 − t 1 ) = arcsin
1
2
=
π
3
.
Ainsi : ω =
π
3(t 2 − t 1 )
d’où T =
2π
ω
= 6(t 2 − t 1 ) = (6,48 ± 24) s.
Pour encadrer le résultat il faut le calculer avec les valeurs extrêmes des données.
Par exemple la valeur maximale de T est : 6 × (2, 52 + 0, 1 − (1, 44 − 0, 03)) =
6,72 s.
✎
3. La mesure de l’instant de passage à la position d’élongation maximale est imprécise car la
vitesse du mobile s’annule à cet instant.
1.3 Vibration d’un diapason
La loi horaire du mouvement de l’extrémité du diapason est : x(t) = A cos(2π f t + ϕ), et
la vitesse est :
dx
dt
= −2π f Asin(2πty + ϕ). La valeur maximale de la vitesse est : v max =
2π f A = 2π × 440 × 0, 5.10 −3 = 1,4 m·s −1 .
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CORRIGÉS
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1.1 Reconnaître un oscillateur harmonique
1. A se mesure en s −2 . L’équation différentielle est celle d’un oscillateur harmonique de
pulsation ω =
√
A donc de fréquence f =
ω
2π
=
√
A
2π
= 32,77 kHz.
2.
a. L’énergie mécanique est la somme de l’énergie cinétique E c =
1
2
m e
dz
dt
2
et de
l’énergie potentielle donnée, soit : E m =
1
2
m e
dz
dt
2
+
1
2
|qV 0 |
d 2 z 2 , car qV 0 = (−q)(−V 0 ) =
|qV 0 |.
b. L’énergie mécanique étant conservée,
dE m
dt
= m e
d 2 z
dt 2
dz
dt
+
|qV 0 |
d 2
dz
dt
z(t) = 0, soit après
simplification par
dz
dt
et division par m :
d 2 z
dt 2 +
|qV 0 |
m e d 2 z(t) = 0.
On reconnaît l’équation d’un oscillateur harmonique de pulsation ω =
|qV 0 |
m e d 2 et donc de
fréquence f =
1
2π
|qV 0 |
m e d 2 = 25.10 6 Hz = 25 MHz.
1.2 Mouvement sinusoïdal
1. Le mobile passe par sa position d’équilibre avec une vitesse dans le sens positif à t 1 .
D’après la figure 1.3 du cours la phase du signal x(t) à t = t 1 est ϕ = −
π
2
. La loi horaire du
mouvement est donc : x(t) = A cos
ω(t − t 1 ) −
π
2
= A sin(ω(t − t 1 )).
2. A l’instant t 2 , x(t 2 ) =
A
2
, donc sin(ω(t 2 − t 1 )) =
1
2
, soit ω(t 2 − t 1 ) = arcsin
1
2
=
π
3
.
Ainsi : ω =
π
3(t 2 − t 1 )
d’où T =
2π
ω
= 6(t 2 − t 1 ) = (6,48 ± 24) s.
Pour encadrer le résultat il faut le calculer avec les valeurs extrêmes des données.
Par exemple la valeur maximale de T est : 6 × (2, 52 + 0, 1 − (1, 44 − 0, 03)) =
6,72 s.
✎
3. La mesure de l’instant de passage à la position d’élongation maximale est imprécise car la
vitesse du mobile s’annule à cet instant.
1.3 Vibration d’un diapason
La loi horaire du mouvement de l’extrémité du diapason est : x(t) = A cos(2π f t + ϕ), et
la vitesse est :
dx
dt
= −2π f Asin(2πty + ϕ). La valeur maximale de la vitesse est : v max =
2π f A = 2π × 440 × 0, 5.10 −3 = 1,4 m·s −1 .
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