Exercices
CHAPITRE 1 – OSCILLATEUR HARMONIQUE
1.8 Un modèle d’élasticité d’une fibre de verre ()
Le verre est un matériau très dur. On peut toutefois le déformer légèrement sans le casser : on
parle d’élasticité. Récemment, des expériences de biophysique ont été menées pour étudier
l’ADN. Le capteur utilisé était simplement une fibre optique en silice amincie à l’extrémité
de laquelle on accroche un brin d’ADN. L’expérience consistait à suivre la déformation de
flexion de la fibre. La masse volumique du verre est ρ = 2500 kg.m
−1 .
Y
k
− →
F
− →
F
La fibre de verre de longueur et de diamètre
d est encastrée horizontalement dans une paroi immobile. Au repos, la fibre est horizontale (on néglige son poids). Quand on applique
une force verticale F (on supposera que la force
F reste verticale tout au long de l’expérience)
à l’extrémité libre de la fibre, celle-ci est déformée. L’extrémité est déplacée verticalement
d’une distance Y que l’on appelle la flèche (voir
figure).
La flèche Y est donnée par la relation suivante (on notera la présence du facteur numérique
7, sans dimension, qui est en fait une valeur approchée pour plus de simplicité) :
7 3 F
Ed 4 , où
E est appelé module d’Young du verre. Pour les applications numériques on prendra pour le
module d’Young E = 7.10 10 S.I..
1. Quelle est l’unité S.I. du module d’Young E ?
2. En considérant uniquement la force F, montrer que l’on peut modéliser la fibre de verre par
un ressort de longueur à vide nulle et de constante de raideur k dont on donnera l’expression
analytique en fonction de E, d et .
3. Calculer numériquement k pour une fibre de longueur = 7 mm et de diamètre d = 10 μm.
On a tous fait l’expérience suivante : faire vibrer une règle ou une tige lorsqu’une de
ses extrémités est bloquée. On cherche ici à trouver les grandeurs pertinentes qui fixent
la fréquence des vibrations. L’extrémité de la tige vaut Y (t) à l’instant t. On admet que
lors des vibrations de la fibre, l’énergie cinétique de la fibre de verre est donnée par l’expression E c = ρd
2
dY
dt
2
. Son énergie potentielle élastique lorsque la flèche vaut Y est :
E p =
1
2
Ed
4
7 3 Y 2 .
4. Écrire l’expression de l’énergie mécanique de la fibre en négligeant l’énergie potentielle
de pesanteur.
5. Justifier que l’énergie mécanique se conserve au cours du temps. En déduire l’équation
différentielle qui régit les vibrations de la fibre.
6. Quelle est l’expression de la fréquence propre de vibration d’une tige de verre de module
d’Young E, de longueur et de diamètre d ?
7. Calculer numériquement la fréquence des vibrations d’une fibre de verre de longueur 7 mm
et de diamètre 0,01 mm.
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CHAPITRE 1 – OSCILLATEUR HARMONIQUE
1.8 Un modèle d’élasticité d’une fibre de verre ()
Le verre est un matériau très dur. On peut toutefois le déformer légèrement sans le casser : on
parle d’élasticité. Récemment, des expériences de biophysique ont été menées pour étudier
l’ADN. Le capteur utilisé était simplement une fibre optique en silice amincie à l’extrémité
de laquelle on accroche un brin d’ADN. L’expérience consistait à suivre la déformation de
flexion de la fibre. La masse volumique du verre est ρ = 2500 kg.m
−1 .
Y
k
− →
F
− →
F
La fibre de verre de longueur et de diamètre
d est encastrée horizontalement dans une paroi immobile. Au repos, la fibre est horizontale (on néglige son poids). Quand on applique
une force verticale F (on supposera que la force
F reste verticale tout au long de l’expérience)
à l’extrémité libre de la fibre, celle-ci est déformée. L’extrémité est déplacée verticalement
d’une distance Y que l’on appelle la flèche (voir
figure).
La flèche Y est donnée par la relation suivante (on notera la présence du facteur numérique
7, sans dimension, qui est en fait une valeur approchée pour plus de simplicité) :
7 3 F
Ed 4 , où
E est appelé module d’Young du verre. Pour les applications numériques on prendra pour le
module d’Young E = 7.10 10 S.I..
1. Quelle est l’unité S.I. du module d’Young E ?
2. En considérant uniquement la force F, montrer que l’on peut modéliser la fibre de verre par
un ressort de longueur à vide nulle et de constante de raideur k dont on donnera l’expression
analytique en fonction de E, d et .
3. Calculer numériquement k pour une fibre de longueur = 7 mm et de diamètre d = 10 μm.
On a tous fait l’expérience suivante : faire vibrer une règle ou une tige lorsqu’une de
ses extrémités est bloquée. On cherche ici à trouver les grandeurs pertinentes qui fixent
la fréquence des vibrations. L’extrémité de la tige vaut Y (t) à l’instant t. On admet que
lors des vibrations de la fibre, l’énergie cinétique de la fibre de verre est donnée par l’expression E c = ρd
2
dY
dt
2
. Son énergie potentielle élastique lorsque la flèche vaut Y est :
E p =
1
2
Ed
4
7 3 Y 2 .
4. Écrire l’expression de l’énergie mécanique de la fibre en négligeant l’énergie potentielle
de pesanteur.
5. Justifier que l’énergie mécanique se conserve au cours du temps. En déduire l’équation
différentielle qui régit les vibrations de la fibre.
6. Quelle est l’expression de la fréquence propre de vibration d’une tige de verre de module
d’Young E, de longueur et de diamètre d ?
7. Calculer numériquement la fréquence des vibrations d’une fibre de verre de longueur 7 mm
et de diamètre 0,01 mm.
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