Exercices Exercices Corrigés
CORRIGÉS
e. Pour observer le diagramme de Bode avec ce dispositif à l’aide d’un créneau, il faut
prendre un signal de très faible fréquence afin que les harmoniques intéressantes pour le filtre
(au voisinage de 20 kHz) soient à peu près constantes d’après le rappel de l’énoncé. On envoie
ce signal à l’entrée du filtre et on fait l’analyse de Fourier de la sortie : le spectre de la sortie
pour les harmoniques élevées donne l’allure du gain.
12.11 Étude et utilisation de filtres, d’après ENSAIT 2002
1. En appliquant la relation du pont diviseur de tension, on obtient H =
jRCω
1 + jRCω
.
2. Il s’agit d’un filtre passe-haut du premier ordre.
3. Le gain s’écrit G = |H| =
1
1 +
1
1
(RCω)
2
. La dérivée de f (ω) = 1 +
1
R 2 C 2 ω 2 est f (ω) =
−
2
R 2 C 2 ω 3 < 0. On en déduit que f est décroissante et que le gain G est une fonction croissante.
4. Une seule pulsation caratéristique intervient dans ce système, ω 0 =
1
RC
. Simplifions la
transmittance avec un tableau asymptotique :
ω 0
1 + jRCω
1
jRCω
H asymp ( jω)
jRCω
1
pente
+20 dB/dec
nulle
phase
+π/2
0
On en conlut que le diagramme est le C . La pulsation de cassure est ω 0 =
1
RC
et les pentes
sont indiquées dans le tableau.
5. Pour obtenir la valeur de C cherchée, on doit effectuer la résolution de :
−20 log
1 +
1
R 2 C 2 ω 2 = −6. On obtient C =
1
2πR f
√
10 0,6 − 1
= 9, 2.10
−9 F.
6. Pour le montage 2, on applique à nouveau la relation du pont diviseur de tension et on
obtient H =
Z
Z s + Z
avec Z s =
1 + jRCω
jCω
et Z =
R
1 + jRCω
. En explicitant les valeurs des
impédances dans la fonction de transfert, on en déduit H =
jRCω
1 + 3 jRCω − R 2 C 2 ω 2 .
7. Il s’agit d’un filtre passe-bande du second ordre.
8. La fonction de transfert peut s’écrire sous la forme H = H 0
2 jξ
ω
ω 0
1 + 2 jξ
ω
ω 0
+
j
ω
ω 0
2 avec
ω 0 =
1
RC
, ξ =
1
2
et H 0 =
1
3
.
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CORRIGÉS
e. Pour observer le diagramme de Bode avec ce dispositif à l’aide d’un créneau, il faut
prendre un signal de très faible fréquence afin que les harmoniques intéressantes pour le filtre
(au voisinage de 20 kHz) soient à peu près constantes d’après le rappel de l’énoncé. On envoie
ce signal à l’entrée du filtre et on fait l’analyse de Fourier de la sortie : le spectre de la sortie
pour les harmoniques élevées donne l’allure du gain.
12.11 Étude et utilisation de filtres, d’après ENSAIT 2002
1. En appliquant la relation du pont diviseur de tension, on obtient H =
jRCω
1 + jRCω
.
2. Il s’agit d’un filtre passe-haut du premier ordre.
3. Le gain s’écrit G = |H| =
1
1 +
1
1
(RCω)
2
. La dérivée de f (ω) = 1 +
1
R 2 C 2 ω 2 est f (ω) =
−
2
R 2 C 2 ω 3 < 0. On en déduit que f est décroissante et que le gain G est une fonction croissante.
4. Une seule pulsation caratéristique intervient dans ce système, ω 0 =
1
RC
. Simplifions la
transmittance avec un tableau asymptotique :
ω 0
1 + jRCω
1
jRCω
H asymp ( jω)
jRCω
1
pente
+20 dB/dec
nulle
phase
+π/2
0
On en conlut que le diagramme est le C . La pulsation de cassure est ω 0 =
1
RC
et les pentes
sont indiquées dans le tableau.
5. Pour obtenir la valeur de C cherchée, on doit effectuer la résolution de :
−20 log
1 +
1
R 2 C 2 ω 2 = −6. On obtient C =
1
2πR f
√
10 0,6 − 1
= 9, 2.10
−9 F.
6. Pour le montage 2, on applique à nouveau la relation du pont diviseur de tension et on
obtient H =
Z
Z s + Z
avec Z s =
1 + jRCω
jCω
et Z =
R
1 + jRCω
. En explicitant les valeurs des
impédances dans la fonction de transfert, on en déduit H =
jRCω
1 + 3 jRCω − R 2 C 2 ω 2 .
7. Il s’agit d’un filtre passe-bande du second ordre.
8. La fonction de transfert peut s’écrire sous la forme H = H 0
2 jξ
ω
ω 0
1 + 2 jξ
ω
ω 0
+
j
ω
ω 0
2 avec
ω 0 =
1
RC
, ξ =
1
2
et H 0 =
1
3
.
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