Exercices Exercices Corrigés
CORRIGÉS
s
apériodique
critique
pseudopériodique
t
4. Le système est un passe-bas donc ne laisse pas passer les hautes fréquences, qui ne peuvent
donc pas reconstituer de discontinuité en sortie : s(0
+
) = 0. On retrouve ce résultat avec le
théorème de la valeur initiale, vu en SI, avec une netrée en échelon.
t → ∞ correspond au régime permanent qui sera décrit par une solution particulière constante
de l’équation différentielle. On obtient : s(+∞) = G 0 E 0 .
5. On rappelle que m =
3
2
C 1
C 2
. Si on veut m =
√
2
2 < 1, il faut donc choisir C 2 tel que C 2 =
9
2 C 1 . Le régime libre est alors apériodique d’après ce qui a été fait auparavant.
6. On souhaite 10 3 Hz ≤ f 0 =
√
2
6πRC 1
≤ 4.10 3 Hz, ce qui impose
√
2
24π10 3 C 1
≤ R ≤
√
2
6π10 3 C 1
.
7. Il n ’y a qu’une pulsation caractéristique ω 0 dans ce système. Simplifions la fonction de
transfert dans un tableau asymptotique :
ω 0
1 + 3 jRC 1 ω + R 2 C 1 C 2 ( jω)
2
1
R 2 C 1 C 2 ( jω)
2
H asymp ( jω)
−1
−
1
R 2 C 1 C 2 ( jω)
2
pente
nulle
−40 dB/dec
phase
−π
−2π
On n’oublie pas que le −1 dans la fonction de transfert, ajoute une phase de −π.
le tableau asymptotique répond à la question.
8. On a un comportement intégrateur lorsque la fonction de transfert peut s’identifier à la
forme :
1
j
ω
ω 0
, ce qui ,’est pas le cas.
Pour avoir un comportement dérivateur, il faudrait que la fonction de transfert puisse s’identifier à la forme j
ω
ω 0
, ce qui n’est jamais le cas ici.
9.
a. Comme 1, 5 < 2, la fréquence du signal est dans la bande passante donc s = −e
c’est-à-dire un déphasage de π et une amplitude identique.
b. Pour le fondamental, on a les mêmes résultats qu’à la question précédente. Pour la première harmonique obtenue pour n = 3, son amplitude vaut 0, 11a et le gain à cette fréquence
est également de 0, 11 : l’amplitude en sortie du filtre est donc de 1% par rapport à celle du
fondamental. On peut la négliger et le signal en sortie est une sinusoïde en opposition de
phase par rapport au créneau.
449
CORRIGÉS
s
apériodique
critique
pseudopériodique
t
4. Le système est un passe-bas donc ne laisse pas passer les hautes fréquences, qui ne peuvent
donc pas reconstituer de discontinuité en sortie : s(0
+
) = 0. On retrouve ce résultat avec le
théorème de la valeur initiale, vu en SI, avec une netrée en échelon.
t → ∞ correspond au régime permanent qui sera décrit par une solution particulière constante
de l’équation différentielle. On obtient : s(+∞) = G 0 E 0 .
5. On rappelle que m =
3
2
C 1
C 2
. Si on veut m =
√
2
2 < 1, il faut donc choisir C 2 tel que C 2 =
9
2 C 1 . Le régime libre est alors apériodique d’après ce qui a été fait auparavant.
6. On souhaite 10 3 Hz ≤ f 0 =
√
2
6πRC 1
≤ 4.10 3 Hz, ce qui impose
√
2
24π10 3 C 1
≤ R ≤
√
2
6π10 3 C 1
.
7. Il n ’y a qu’une pulsation caractéristique ω 0 dans ce système. Simplifions la fonction de
transfert dans un tableau asymptotique :
ω 0
1 + 3 jRC 1 ω + R 2 C 1 C 2 ( jω)
2
1
R 2 C 1 C 2 ( jω)
2
H asymp ( jω)
−1
−
1
R 2 C 1 C 2 ( jω)
2
pente
nulle
−40 dB/dec
phase
−π
−2π
On n’oublie pas que le −1 dans la fonction de transfert, ajoute une phase de −π.
le tableau asymptotique répond à la question.
8. On a un comportement intégrateur lorsque la fonction de transfert peut s’identifier à la
forme :
1
j
ω
ω 0
, ce qui ,’est pas le cas.
Pour avoir un comportement dérivateur, il faudrait que la fonction de transfert puisse s’identifier à la forme j
ω
ω 0
, ce qui n’est jamais le cas ici.
9.
a. Comme 1, 5 < 2, la fréquence du signal est dans la bande passante donc s = −e
c’est-à-dire un déphasage de π et une amplitude identique.
b. Pour le fondamental, on a les mêmes résultats qu’à la question précédente. Pour la première harmonique obtenue pour n = 3, son amplitude vaut 0, 11a et le gain à cette fréquence
est également de 0, 11 : l’amplitude en sortie du filtre est donc de 1% par rapport à celle du
fondamental. On peut la négliger et le signal en sortie est une sinusoïde en opposition de
phase par rapport au créneau.
449