Exercices Exercices Corrigés
CHAPITRE 12 – FILTRAGE LINÉAIRE
La dérivée en t = 0 + est calculable facilement avec le théorème de la valeur initiale :
ds 3
dt
0
+
=
lim
p→∞
p
p S (p) − s 3
0
+
= lim
p→∞
p
2 H (p)
E 30
p
=
E 30
2RC
.
11. L’équation différentielle à laquelle obéit le système provient de la transmittance :
1 + 2 j
L
R ω + 2LC ( jω)
2
s = j
L
R ωe.
Et donc pour t > 0, où e 3 (t) = constante : 2LC
d 2 s 3
dt 2 + 2
L
R
ds 3
dt
+ s 3 =
L
R
de 3
dt
= 0. Le discriminant de l’équation réduite associée est : Δ = 4
L 2
R 2 − 4 × 2LC = 4.10
−14
− 8.10
−10
s
2
=
−8.10
−10 s
2
< 0.
On prendra donc dans la suite Δ = −8LC. Les solutions de l’équation réduite associée sont
donc : r 1,2 =
−2
L
R ±
√
Δ
4LC
= −
1
2RC
±
1
√
2LC
= −500 ± 70, 7.10
3 rad.s
−1
.
Ainsi : s 3 (t) = exp
−
t
2RC
λ cos
t
√
2LC
+ μ sin
t
√
2LC
, soit numériquement s 3 (t) =
e −500t
λ cos
70, 7.10 3 t
+ μ sin
70, 7.10 3 t
(V).
Les conditions initiales imposent : s 3 (0 + ) = 0 = λ et
ds 3
dt
0
+
=
E 30
2RC
=
μ
√
2LC
, donc μ =
E 30
R
L
2C
= 7, 1.10
−3 V.
Finalement : s 3 (t) =
E 30
R
L
2C
exp
−
t
2RC
sin
t
√
2LC
, numériquement :
s 3 (t) = 7, 1.10 −3 e −500t sin
70, 7.10 3 t
(V).
La pseudopulsation ω 0 = 70, 7.10 3 rad.s −1 est la seule fréquence qui passe à travers le filtre,
d’après l’étude de la question 8. Il est donc normal de la retrouver en sortie.
12.9 Filtre passe-bas
1. Par identification avec l’expression proposée dans l’énoncé, on trouve : ω 0 =
1
R
√
C 1 C 2
,
m =
3
2
C 1
C 2
et G 0 = −1.
2. On utilise le passage de la fonction de transfert à l’équation différentielle grâce à l’équivalence entre la multiplication par jω en notation complexe et la dérivation par rapport au
temps en notation réelle. On en déduit :
1
ω 2
0
d 2 s
dt 2 +
2m
ω 0
ds
dt
+ s = G 0 e.
3. La solution générale de l’équation différentielle homogène associée décrit le régime libre.
L’équation caractéristique associée
1
ω 2
0
r
2
+
2m
ω 0
r + 1 = 0 admet pour discriminant réduit Δ =
m 2 − 1
ω 2
0
. On a donc trois régimes possibles pour le régime libre : apériodique si Δ > 0 ou
m > 1, critique si Δ = 0 ou m = 1 et pseudopériodique si Δ < 0 ou m < 1. Les allures sont
les suivantes :
448
CHAPITRE 12 – FILTRAGE LINÉAIRE
La dérivée en t = 0 + est calculable facilement avec le théorème de la valeur initiale :
ds 3
dt
0
+
=
lim
p→∞
p
p S (p) − s 3
0
+
= lim
p→∞
p
2 H (p)
E 30
p
=
E 30
2RC
.
11. L’équation différentielle à laquelle obéit le système provient de la transmittance :
1 + 2 j
L
R ω + 2LC ( jω)
2
s = j
L
R ωe.
Et donc pour t > 0, où e 3 (t) = constante : 2LC
d 2 s 3
dt 2 + 2
L
R
ds 3
dt
+ s 3 =
L
R
de 3
dt
= 0. Le discriminant de l’équation réduite associée est : Δ = 4
L 2
R 2 − 4 × 2LC = 4.10
−14
− 8.10
−10
s
2
=
−8.10
−10 s
2
< 0.
On prendra donc dans la suite Δ = −8LC. Les solutions de l’équation réduite associée sont
donc : r 1,2 =
−2
L
R ±
√
Δ
4LC
= −
1
2RC
±
1
√
2LC
= −500 ± 70, 7.10
3 rad.s
−1
.
Ainsi : s 3 (t) = exp
−
t
2RC
λ cos
t
√
2LC
+ μ sin
t
√
2LC
, soit numériquement s 3 (t) =
e −500t
λ cos
70, 7.10 3 t
+ μ sin
70, 7.10 3 t
(V).
Les conditions initiales imposent : s 3 (0 + ) = 0 = λ et
ds 3
dt
0
+
=
E 30
2RC
=
μ
√
2LC
, donc μ =
E 30
R
L
2C
= 7, 1.10
−3 V.
Finalement : s 3 (t) =
E 30
R
L
2C
exp
−
t
2RC
sin
t
√
2LC
, numériquement :
s 3 (t) = 7, 1.10 −3 e −500t sin
70, 7.10 3 t
(V).
La pseudopulsation ω 0 = 70, 7.10 3 rad.s −1 est la seule fréquence qui passe à travers le filtre,
d’après l’étude de la question 8. Il est donc normal de la retrouver en sortie.
12.9 Filtre passe-bas
1. Par identification avec l’expression proposée dans l’énoncé, on trouve : ω 0 =
1
R
√
C 1 C 2
,
m =
3
2
C 1
C 2
et G 0 = −1.
2. On utilise le passage de la fonction de transfert à l’équation différentielle grâce à l’équivalence entre la multiplication par jω en notation complexe et la dérivation par rapport au
temps en notation réelle. On en déduit :
1
ω 2
0
d 2 s
dt 2 +
2m
ω 0
ds
dt
+ s = G 0 e.
3. La solution générale de l’équation différentielle homogène associée décrit le régime libre.
L’équation caractéristique associée
1
ω 2
0
r
2
+
2m
ω 0
r + 1 = 0 admet pour discriminant réduit Δ =
m 2 − 1
ω 2
0
. On a donc trois régimes possibles pour le régime libre : apériodique si Δ > 0 ou
m > 1, critique si Δ = 0 ou m = 1 et pseudopériodique si Δ < 0 ou m < 1. Les allures sont
les suivantes :
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