Exercices Exercices Corrigés
CHAPITRE 12 – FILTRAGE LINÉAIRE
On identifie les paramètres canoniques :
1
ω 2
0
= 2LC donc ω 0 =
1
√
2LC
,
2m
ω 0
= 2
L
R
donc m =
1
R
L
2C
et H 0
2m
ω 0
=
L
R
donc H 0 =
1
2
.
2. Le filtre est un passe-bande du deuxième ordre dont le dénominateur est simplifiable. Dressons un tableau asymptotique, où les pentes apparaissent :
ω 0
1 + 2 j
L
R ω + 2LC ( jω)
2
1
2 LC ( jω)
2
H asymp ( jω)
j
L
R
ω
1
j2RCω
pente
+20 dB/dec
−20 dB/dec
phase
+π/2
−π/2
Le gain asymptotique β vaut en ω 0 :
H asymp ( jω 0 )
=
1
R
L
2C
donc
H asymp ( jω 0 )
dB
=
−43 dB
Quant au gain réel α en ω 0 : H ( jω 0 ) =
1
2
donc |H ( jω 0 )| dB = −6 dB et ϕ ( jω 0 ) = 0.
Puis, avec les phases obtenues dans le tableau asymptotique :
ω (échelle log)
φ
π/2
−π/2
1
√
2LC
3. Intégrateur pour ω ω 0 et dérivateur pour ω ω 0 .
4. On utilise un GBF qui délivre un signal sinusoïdal accompagné d’un offset.
5. En régime permanent harmonique : s 1 (t) = E 0 H ( j0) + E 1 e
jω 1 t H ( jω 1 ).
Or ω 1 = ω 0 donc H ( j0) = 0 et H ( jω 1 ) =
1
2
: s 1 (t) =
E 1
2
cos (ω 1 t) .
6. E 2
2eff = < e 2
2 > =
1
T
ˆ T
0
e
2
2 (t) dt =
1
T
ˆ T /2
0
E
2
20 dt +
1
T
ˆ T
T /2
(−E 20 )
2 dt = E
2
20 , donc E 2eff =
E 20 .
7. Le fondamental a une pulsation ω 2 =
2π
T
=
1
3
√
2LC
=
ω 0
3
= 23, 6 krad.s
−1 :
446
CHAPITRE 12 – FILTRAGE LINÉAIRE
On identifie les paramètres canoniques :
1
ω 2
0
= 2LC donc ω 0 =
1
√
2LC
,
2m
ω 0
= 2
L
R
donc m =
1
R
L
2C
et H 0
2m
ω 0
=
L
R
donc H 0 =
1
2
.
2. Le filtre est un passe-bande du deuxième ordre dont le dénominateur est simplifiable. Dressons un tableau asymptotique, où les pentes apparaissent :
ω 0
1 + 2 j
L
R ω + 2LC ( jω)
2
1
2 LC ( jω)
2
H asymp ( jω)
j
L
R
ω
1
j2RCω
pente
+20 dB/dec
−20 dB/dec
phase
+π/2
−π/2
Le gain asymptotique β vaut en ω 0 :
H asymp ( jω 0 )
=
1
R
L
2C
donc
H asymp ( jω 0 )
dB
=
−43 dB
Quant au gain réel α en ω 0 : H ( jω 0 ) =
1
2
donc |H ( jω 0 )| dB = −6 dB et ϕ ( jω 0 ) = 0.
Puis, avec les phases obtenues dans le tableau asymptotique :
ω (échelle log)
φ
π/2
−π/2
1
√
2LC
3. Intégrateur pour ω ω 0 et dérivateur pour ω ω 0 .
4. On utilise un GBF qui délivre un signal sinusoïdal accompagné d’un offset.
5. En régime permanent harmonique : s 1 (t) = E 0 H ( j0) + E 1 e
jω 1 t H ( jω 1 ).
Or ω 1 = ω 0 donc H ( j0) = 0 et H ( jω 1 ) =
1
2
: s 1 (t) =
E 1
2
cos (ω 1 t) .
6. E 2
2eff = < e 2
2 > =
1
T
ˆ T
0
e
2
2 (t) dt =
1
T
ˆ T /2
0
E
2
20 dt +
1
T
ˆ T
T /2
(−E 20 )
2 dt = E
2
20 , donc E 2eff =
E 20 .
7. Le fondamental a une pulsation ω 2 =
2π
T
=
1
3
√
2LC
=
ω 0
3
= 23, 6 krad.s
−1 :
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