Exercices Exercices Corrigés
CHAPITRE 12 – FILTRAGE LINÉAIRE
• le condensateur est initialement déchargé, la tension à ses bornes est nulle en t = 0. Il n’y
a donc pas de différence de potentiel entre e a (t) et s a (t) en t = 0 (continuité de la tension
aux bornes d’un condensateur). Ainsi s a (0 + ) = E.
• on retrouve ce résultat avec le théorème de la valeur initiale, vu en cours de SI. Sachant que
p = jω et que la transformée de Laplace d’un échelon de hauteur E est E/p : lim t→0 s a (t) =
lim p→∞ pS a (p) = lim p→∞ pH a (p)
E
p
= H a (∞) E = E.
Ainsi λ = −E(a − 1). Finalement : s a (t > 0) = aE − (a − 1)E exp
−
t
aτ
.
s a (t)
t
aE
E
Avec, (1 + j (R 1 + R 2 )Cω) s b = (1 + jR 2 Cω) e b , l’équation différentielle régissant l’évolution du circuit (b) est : s b (t) + (R 1 + R 2 )C
ds b
dt
= e b (t) + R 2 C
de b
dt
.
Comme e b (t > 0) = E, l’équation se simplifie en s b (t) + (R 1 + R 2 )C
ds b
dt
= e b (t) et s’intègre
en : s b (t) = E + μ
−
t
(R 1 + R 2 )C
.
On trouve μ avec la condition initiale :
• le condensateur est initialement déchargé, donc la tension à ses bornes est nulle en t = 0.
On a alors un pont diviseur instantané formé de R 1 et R 2 (il est qualifié d’instantané car il
n’existe qu’en t = 0 ; après C a un effet) : s b (0 + ) =
R 2
R 1 + R 2
e b (0
+
).
• Avec le théorème de la valeur initiale, vu en SI : lim t→0 s b (t) = H b (∞) E =
R 2
R 1 + R 2
E.
Ainsi μ = −E
R 1
R 1 + R 2
et : s b (t > 0) = E
1 −
R 1
R 1 + R 2
exp
−
t
(R 1 + R 2 )C
.
s b (t)
t
aE
E
L’équation différentielle régissant l’évolution du circuit (c) est trouvée avec la transmittance :
(1 + j(R 1 + R 2 )Cω) s c = jR 2 Cωe c donc (R 1 + R 2 )C
ds c
dt
+ s c (t) = R 2 C
de c
dt
.
Elle devient sur t > 0 (e c (t > 0) = E) : (R 1 + R 2 )
ds c
dt
+ s c (t) = 0 et s’intègre en : s c (t) =
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