Exercices
CHAPITRE 1 – OSCILLATEUR HARMONIQUE
S’ENTRAÎNER
1.1 Reconnaître un oscillateur harmonique ()
1. La tension électrique v(t) aux bornes d’un oscillateur à quartz (tel qu’on en trouve dans les
montres) vérifie l’équation différentielle :
d
2 v
dt 2 + Av(t) = 0 avec A = 4,239.10 10 USI. Quelle
est l’unité de A ? Quelle est la fréquence de cet oscillateur ?
2. Un électron de masse m e = 9,11.10 −31 kg et de charge q = −1,61.10 −19 C est piégé à
l’intérieur d’un dispositif tel que son énergie potentielle est E p =
1
2
qV 0
d 2 z 2 où V 0 = −5,0 V et
d = 6,0 mm. On s’intéresse à un mouvement de l’électron selon l’axe (Oz).
a. Exprimer l’énergie mécanique de l’électron en fonction des données et de z(t) de
dz
dt
.
b. On suppose que l’énergie mécanique est constante dans le temps. Calculer la fréquence
des oscillations de l’électron selon (Oz) dans le piège.
1.2 Mouvement sinusoïdal ()
On filme avec une webcam le mobile étudié dans le premier paragraphe. A l’aide d’un logiciel
permettant de relever image après image la position de G, on trouve que G passe par sa
position d’équilibre, avec une vitesse dans le sens de (Ox), à l’instant t 1 = 1, 44 ± 0, 03 s et
qu’il passe ensuite pour la première fois au milieu entre la position d’équilibre et la position
d’élongation maximale à l’instant t 2 = 2, 52 ± 0, 1 s.
1. Calculer la période des oscillations.
2. Pourquoi n’a-t-on pas choisi de mesurer l’instant où le mobile passe par la position d’élongation maximale ?
1.3 Vibration d’un diapason ()
Un diapason vibre à la fréquence du La4 soit f = 440 Hz. On mesure sur une photo l’amplitude du mouvement de l’extrémité des branches A = 0,5 mm. Quelle est la vitesse maximale
de l’extrémité du diapason ? Quelle est l’accélération maximale de ce point ?
1.4 Énergie de l’oscillateur harmonique ()
L’énergie mécanique d’un oscillateur harmonique s’écrit : E m (t) =
1
2
mω 2
0 x 2 +
1
2
m
dx
dt
2
.
On suppose qu’il n’y a aucun phénomène dissipatif : l’énergie mécanique est donc constante.
1. En utilisant la conservation de l’énergie, retrouver l’équation différentielle de l’oscillateur
harmonique.
2. On suppose que x(t) = A cos(ω 0 t +ϕ). Exprimer l’énergie cinétique et l’énergie potentielle
en fonction de m, ω 0 , A et cos(2ωt + 2ϕ). On utilisera les formules : cos 2 α =
1
2
(1 + cos(2α))
et sin
2
α =
1
2
(1 − cos(2α)). Vérifier que l’énergie mécanique est bien constante.
40
CHAPITRE 1 – OSCILLATEUR HARMONIQUE
S’ENTRAÎNER
1.1 Reconnaître un oscillateur harmonique ()
1. La tension électrique v(t) aux bornes d’un oscillateur à quartz (tel qu’on en trouve dans les
montres) vérifie l’équation différentielle :
d
2 v
dt 2 + Av(t) = 0 avec A = 4,239.10 10 USI. Quelle
est l’unité de A ? Quelle est la fréquence de cet oscillateur ?
2. Un électron de masse m e = 9,11.10 −31 kg et de charge q = −1,61.10 −19 C est piégé à
l’intérieur d’un dispositif tel que son énergie potentielle est E p =
1
2
qV 0
d 2 z 2 où V 0 = −5,0 V et
d = 6,0 mm. On s’intéresse à un mouvement de l’électron selon l’axe (Oz).
a. Exprimer l’énergie mécanique de l’électron en fonction des données et de z(t) de
dz
dt
.
b. On suppose que l’énergie mécanique est constante dans le temps. Calculer la fréquence
des oscillations de l’électron selon (Oz) dans le piège.
1.2 Mouvement sinusoïdal ()
On filme avec une webcam le mobile étudié dans le premier paragraphe. A l’aide d’un logiciel
permettant de relever image après image la position de G, on trouve que G passe par sa
position d’équilibre, avec une vitesse dans le sens de (Ox), à l’instant t 1 = 1, 44 ± 0, 03 s et
qu’il passe ensuite pour la première fois au milieu entre la position d’équilibre et la position
d’élongation maximale à l’instant t 2 = 2, 52 ± 0, 1 s.
1. Calculer la période des oscillations.
2. Pourquoi n’a-t-on pas choisi de mesurer l’instant où le mobile passe par la position d’élongation maximale ?
1.3 Vibration d’un diapason ()
Un diapason vibre à la fréquence du La4 soit f = 440 Hz. On mesure sur une photo l’amplitude du mouvement de l’extrémité des branches A = 0,5 mm. Quelle est la vitesse maximale
de l’extrémité du diapason ? Quelle est l’accélération maximale de ce point ?
1.4 Énergie de l’oscillateur harmonique ()
L’énergie mécanique d’un oscillateur harmonique s’écrit : E m (t) =
1
2
mω 2
0 x 2 +
1
2
m
dx
dt
2
.
On suppose qu’il n’y a aucun phénomène dissipatif : l’énergie mécanique est donc constante.
1. En utilisant la conservation de l’énergie, retrouver l’équation différentielle de l’oscillateur
harmonique.
2. On suppose que x(t) = A cos(ω 0 t +ϕ). Exprimer l’énergie cinétique et l’énergie potentielle
en fonction de m, ω 0 , A et cos(2ωt + 2ϕ). On utilisera les formules : cos 2 α =
1
2
(1 + cos(2α))
et sin
2
α =
1
2
(1 − cos(2α)). Vérifier que l’énergie mécanique est bien constante.
40