CONTENU SPECTRAL D’UN SIGNAL
En sommant pour aller jusqu’aux harmoniques 21 et 41, on voit que la somme de Fourier
est très proche du signal en créneau. La somme des 400 premières harmoniques permet de
reconstituer pratiquement le signal :
0
1
0
1
2
k = 21
0
1
0
1
2
k = 41
0
1
0
1
2
k = 400
Figure 12.9 – Sommes partielles de Fourier.
On observe que si l’on se restreint aux premiers termes de la série de Fourier, on retrouve
l’allure générale du signal : proche de zéro pour t < 0 et t > 1 s, proche de deux sur [0, 1 s],
avec une variation rapide autour de 0 s et 1 s. Ces premiers termes sont suffisants pour décrire
la forme générale du signal.
Les basses fréquences (valeur moyenne, fondamental et premières harmoniques) contiennent la fome générale du signal.
Est-ce à dire que les hautes fréquences ne représentent rien ? Absolument pas ! Pour converger
finement vers le signal créneau, il a fallu ajouter des harmoniques de rang toujours plus élevé.
Les hautes fréquences sont indispensables pour synthétiser les brusques variations du signal,
comme en t = 0 s ou t = 1 s, ainsi que pour parfaire les petits détails.
Que les détails du signal soient contenus dans les hautes fréquences, cela se comprend aisément. Les hautes fréquences varient vite, avec une très faible période ; elles construisent
la partie du signal la plus fine. Quelle que soit la précision demandée, elle sera atteinte en
montant assez haut en fréquence, c’est-à-dire avec une période aussi petite que l’on souhaite.
La nécessité de la présence des hautes fréquences dans un signal qui varie brusquement est
visible quand on les isole. Plus on augmente le nombre d’harmoniques dans les hautes fréquences, plus la pente du signal reconstitué est importante en t = 0 s et t = 1 s. On peut tracer
uniquement ces hautes fréquences, à savoir la somme :
∞
∑
K
E n cos
n × 2π
t
T
+ ϕ n
,
dans trois cas, K = 20, K = 50 puis K = 600. On isole ainsi la partie haute fréquence du
signal, contenue par les harmoniques de rang supérieur ou égal à K.
415
En sommant pour aller jusqu’aux harmoniques 21 et 41, on voit que la somme de Fourier
est très proche du signal en créneau. La somme des 400 premières harmoniques permet de
reconstituer pratiquement le signal :
0
1
0
1
2
k = 21
0
1
0
1
2
k = 41
0
1
0
1
2
k = 400
Figure 12.9 – Sommes partielles de Fourier.
On observe que si l’on se restreint aux premiers termes de la série de Fourier, on retrouve
l’allure générale du signal : proche de zéro pour t < 0 et t > 1 s, proche de deux sur [0, 1 s],
avec une variation rapide autour de 0 s et 1 s. Ces premiers termes sont suffisants pour décrire
la forme générale du signal.
Les basses fréquences (valeur moyenne, fondamental et premières harmoniques) contiennent la fome générale du signal.
Est-ce à dire que les hautes fréquences ne représentent rien ? Absolument pas ! Pour converger
finement vers le signal créneau, il a fallu ajouter des harmoniques de rang toujours plus élevé.
Les hautes fréquences sont indispensables pour synthétiser les brusques variations du signal,
comme en t = 0 s ou t = 1 s, ainsi que pour parfaire les petits détails.
Que les détails du signal soient contenus dans les hautes fréquences, cela se comprend aisément. Les hautes fréquences varient vite, avec une très faible période ; elles construisent
la partie du signal la plus fine. Quelle que soit la précision demandée, elle sera atteinte en
montant assez haut en fréquence, c’est-à-dire avec une période aussi petite que l’on souhaite.
La nécessité de la présence des hautes fréquences dans un signal qui varie brusquement est
visible quand on les isole. Plus on augmente le nombre d’harmoniques dans les hautes fréquences, plus la pente du signal reconstitué est importante en t = 0 s et t = 1 s. On peut tracer
uniquement ces hautes fréquences, à savoir la somme :
∞
∑
K
E n cos
n × 2π
t
T
+ ϕ n
,
dans trois cas, K = 20, K = 50 puis K = 600. On isole ainsi la partie haute fréquence du
signal, contenue par les harmoniques de rang supérieur ou égal à K.
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