RÉPONSE D’UN SYSTÈME LINÉAIRE EN RÉGIME PERMANENT
Le signal d’entrée oscille à la pulsation ω. Le système réagit linéaire donc à cette même
pulsation ω. C’est donc la même pulsation ω qui apparaît dans exp ( jωt), qui décrit e (t) et
dans H ( jω), qui décrit le système.
!
Afin d’établir l’amplitude de s (t) et son déphasage par rapport à e (t), il faut écrire s (t) sous
forme module× exp( j arg). De même pour la transmittance :
1
1 + jτω
=
1
1 + jτω
exp ( j (arg (1) − arg(1 + jτω)))
=
1
1 + (τω)
2
exp(− j arctan (τω)) .
Dès lors :
s (t) =
E 0
1 + (τω)
2
exp ( j (ωt − arctan(τω))) .
En prenant la partie réelle de s (t) :
s (t) =
E 0
1 + (τω)
2
cos (ωt − arctan(τω)) .
Pour un signal d’entrée sinusoïdal, le signal de sortie est sinusoïdal de même pulsation ω ; on
utilise H ( jω) pour le calculer.
1.4 Entrée combinaison linéaire de fonctions sinusoïdales
Si l’entrée du système RC se compose maintenant de deux fonctions sinusoïdales de pulsations différentes, ω 1 et ω 2 :
e (t) = E 1 cos (ω 1 t) + E 2 cos (ω 2 t) ,
que vaut la sortie s (t) en régime sinusoïdal permanent ?
La méthode est simple : l’entrée est la superposition de deux entrées, e 1 (t) = E 1 cos (ω 1 t) et
e 2 (t) = E 2 cos (ω 2 t). e 1 (t) seul impose une sortie s 1 (t), e 2 (t) seul impose une sortie s 2 (t).
Par linéarité, la sortie est alors la superposition des deux sorties :
s (t) = s 1 (t) + s 2 (t) .
Que vaut s 1 (t) ? L’entrée e 1 (t) oscille à la pulsation ω 1 , le système réagit donc à cette même
pulsation ω 1 et la sortie s 1 (t) oscille en régime sinusoïdal permament à ω 1 . Le calcul est
identique à celui du paragraphe précédent :
s 1 (t) =
E 1
1 + (τω 1 )
2
cos (ω 1 t − arctan(τω 1 )) .
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