Exercices Exercices Corrigés
CHAPITRE 10 – RÉGIME SINUSOÏDAL
e. On remplace R par R + r et on obtient Z =
(R + r)
2 +
Lω −
1
Cω
2
et tan ϕ =
Lω −
1
Cω
R + r
. On en déduit l’expression r =
Z
√
1 + tanϕ
− R soit numériquement r = 8, 3 Ω.
f. On obtient aussi L
1
ω
1
Cω
+ (R + r)tan ϕ
= 58, 6 mH.
10.11 Étude du modèle simplifié d’un moteur, d’après Banque PT 2004
1. D’après les indications de l’énoncé, on obtient le circuit de la figure suivante
i
R
C
L
R c
R 0
R 0
V
i 1
2. On s’intéresse donc à un circuit RLC série constitué d’une résistance R + R c , d’une bobine
L et d’un condensateur C. La loi d’Ohm donne pour les valeurs efficaces I 1 = V /Z où Z est le
module de Z = R + R c + j
Lω −
1
Cω
. Puisque V est constante, l’intensité I est maximale
si Z =
(R + R c ) 2 +
Lω −
1
Cω
2
est minimale donc si
Lω −
1
Cω
= 0 ou ω = 1/
√
LC.
3. La résonance en courant correspond à une impédance totale minimale donc une admittance totale maximale. La figure donne Y p maximale pour x légèrement inférieur à 1 soit ω
légèrement inférieure à ω s .
L’application numérique donne ω = 36 000 rad.s
−1 soit f = ω/2π = 5, 6 kHz.
4. L’admittance Y est formée de R 0 en parallèle avec C 0 soit Y =
1
R 0
2
+ (C 0 ω)
2 . Pour
ω = ω s , la valeur de l’admittance Y est 2, 9.10 −4 S. On rappelle que la siemens S est l’inverse
de l’ohm : 1 S = 1 Ω −1 . D’après les questions précédentes, lorsque ω = ω s , l’impédance
Z m + Z c est égale à R + R c , donc Y = 1/(R + R c ) et Y = 0, 01 S. On remarque donc que
Y Y , or l’admittance totale est Y tot = Y +Y donc Y tot Y . La fréquence de résonance est
quasiment celle de l’admittance Y .
5. Si R c 10 Ω, alors Y 1, 6.10 −2 S. L’approximation précédente est encore mieux vérifiée, donc la fréquence de résonance est quasiment inchangée.
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