Exercices Exercices Corrigés
CORRIGÉS
10.7 Étude d’un circuit en régime sinusoïdal
1. Les impédances s’écrivent Z =
1
jCω +
1
R
=
R
1 + jRCω
et Z
= R
+
1
jCω
. On obtient en
identifiant R =
R
1 + (RCω)
2
et C = C
1 + (RCω)
2
(RCω)
2
.
2. On en déduit
R
R = 1 +
ω
ω 0
2
et
C
C =
ω
ω 0
2
1 +
ω
ω 0
2 . Les allures sont les suivantes :
1
C
C
ω
ω 0
R
R
U
E
√
2
RC
1
2
ω
3. On utilise la relation du pont diviseur de tension et on obtient
u
e
=
jRCω
2 + 2 jRCω − R 2 C 2 ω 2
ainsi que
v
e
=
(1 + jRCω)
2
2 + 2 jRCω − R 2 C 2 ω 2 .
4. Pour l’amplitude, on prend le module soit U =
RCω
(2 − R 2 C 2 ω 2 )
2 + 4R 2 C 2 ω 2
E.
5. On pose x = RCω et on étudie la fonction f (x) =
x
√
1 + x 4
dont la dérivée vaut f (x) =
4 − x 4
(4 + x 4 )
3/2
. La fonction f est croissante de 0 à
1
2
pour ω <
√
2
RC
et décroissante ensuite
jusqu’à 0.
6. Avec un tableau asymptotique qui simplifie l’expression de la transmittance, suivant ω
ω 0 =
√
2
RC
ou ω ω 0 :
ω 0
2 + 2 jRCω − R 2 C 2 ω 2
1
−R 2 C 2 ω 2
H asymp ( jω)
jRCω
2
1
jRCω
pente
+20 dB/dec
−20 dB/dec
phase
+π/2
−π/2
La phase varie bien de +
π
2
à −
π
2
.
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